Question

如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，连接DE、DF．有下面三个结论：
（1）△BEF∽△CEG；
（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之和为24；
（3）当BE=

55

6

时，△DEF的面积为

121

6

，
其中正确结论的序号是

（1）（2）（3）

．

Answer 1

分析：（1）由AB∥DG，即可直接得到两个三角形相似．
（2）利用勾股定理可求出BM=3，又因为Rt△BEF∽Rt△BAM，令BE=x，那么根据相似比，可用含x的代数式分别表示EF，BF，同样在△CEG中，令CE=y，可用含y的代数式表示CG，EG，又x+y=10，那么能求出两三角形的周长和是

12

5

（x+y）=24．
（3）利用相似比、勾股定理可得EF=

4

5

x，CG=

3

5

（10-x），那么利用三角形的面积公式，可得到y与x的关系式，再根据二次函数求最大值来求即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DG，
∴∠B=∠GCE，∠G=∠BFE，
∴△BEF∽△CEG，故此选项正确；
（2）过点C作FG的平行线交直线AB于H，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．
所以FH=CG，FG=CH，
因此，△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH，
∵∠B=∠B，∠AMB=∠BHC=90°
∴△ABM∽△CBH，
∴

AB

BC

=

AM

CH

由BC=10，AB=5，AM=4，
可得CH=8，
∴BH=6，
所以BC+CH+BH=24，故此选项正确；
（3）设BE=x，则EF=

4

5

x，GC=

3

5

（10-x），
所以y=

1

2

EF•DG=

1

2

•

4

5

x[

3

5

（10-x）+5]=-

6

25

x²+

22

5

x，
配方得：y=-

6

25

（x-

55

6

）²+

121

6

．
所以，当x=

55

6

时，y有最大值．
最大值为

121

6

，故此选项正确．
故答案为：（1）（2）（3）．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，二次函数求最大值的问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．