Question

用棱长为1cm的若干小正方体按如图所示的规律在地面上搭建若个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层，第二层…第n层（n为正整数），其中第一层摆放一个，第二层摆放4个，第三层摆放9个…，依次按规律摆放．（图片所示为第三个几何体）
（1）求搭建第4个几何体的小立方体的个数，第n个几何体第n层的个数及总数．
（2）画出第2，第3个几何体的三视图，并求出这两个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积之和．
（3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂1cm²需要油漆0.1g，求喷涂第n个几何体，共需要多少g油漆？（用含n的代数式表示）

Answer 1

（1）搭建第4个几何体的小立方体的个数=1+4+9+16=30；第n个几何体第n层的个数为n²，其总数为1+2²+3²+4²+…+n²；

（2）第2个几何体的主视图为

，左视图为

，俯视图为

；
第3个几何体的主视图为



，左视图为



，俯视图

；
这两个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积之和=4×3+4+4×6+9=49（cm²）；

（3）第n个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积=4×（1+2+3+…+n）+n²=4×

n(n+1)

2

+n²=3n²+2n，
所以所需要的油漆量=（3n²+2n）×0.1=（0.3n²+0.2n）g．