Question

设函数y=kx²+（2k+1）x+1（k为实数）
（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图象；
（2）根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；
（3）对任意负实数k，当x＜m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．

Answer 1

分析：（1）令k=0或1，分别得到两个特殊函数，画出图象即可；
（2）猜想：不论k取何值，函数y=kx²+（2k+1）x+1的图象必过定点（0，1），（-2，-1）．由解析式变形，得y=k（x²+2x）+（x+1），可知当x²+2x=0，即x=0或-2时，函数值与k的取值无关，此时y=1或-1，可得定点坐标；
（3）只求m的一个值即可．当k＜0时，抛物线对称轴为直线x=-

2k+1

2k

，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，根据题意，得m≤-

2k+1

2k

，而当k＜0时，-

2k+1

2k

=-1-

1

2k

＞-1，可确定m的范围，在范围内取m的一个值即可．

解答：解：（1）如两个函数为y=x+1，y=x²+3x+1，
函数图形如图所示；

（2）不论k取何值，函数y=kx²+（2k+1）x+1的图象必过定点（0，1），（-2，-1），
且与x轴至少有1个交点．证明如下：
将x=0时代入函数中解出y=1，x=-2时代入函数中解出y=-1．
所以函数的图象必过定点（0，1），（-2，-1）．
又因为当k=0时，函数y=x+1的图象与x轴有一个交点；
当k≠0时，
∵△=（2k+1）²-4k=4k²+1＞0，所以函数图象与x轴有两个交点．
所以函数y=kx²+（2k+1）x+1的图象与x轴至少有1个交点．

（3）只要写出m≤-1的数都可以．
∵k＜0，
∴函数y=kx²+（2k+1）x+1的图象在对称轴直线x=-

2k+1

2k

的左侧，y随x的增大而增大．
根据题意，得m≤-

2k+1

2k

，而当k＜0时，-

2k+1

2k

=-1-

1

2k

＞-1，
所以m≤-1．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、二次函数的增减性等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．