Question

20．在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上一点，且BE=CE，DF=2FC，连接DE，BF交于点G，连接∠DAG的平分线交DC于M，若BG=$\sqrt{10}$，则四边形AGFM的面积是$\frac{85}{12}$．

Answer 1

分析 如图，作AK⊥BF于H交BC于K，延长CB到P，使得BP=DM，连接AP、KM，延长DE交AB的延长线于N．则△ADM≌△ABP，△DCE≌△NBE．首先求出正方形ABCD的边长，再证明∠KAM=45°，KM=BK+DM，设DM=x，在Rt△KMC中，利用勾股定理列出方程即可切线x，根据S_{四边形AEFM}=S_{正方形ABCD}-S_△ADM-S_△ABE-S_△EFC计算即可解决问题．

解答 解：如图，作AK⊥BF于H交BC于K，延长CB到P，使得BP=DM，连接AP、KM，延长DE交AB的延长线于N．则△ADM≌△ABP，△DCE≌△NBE．
∵四边形ABCD是正方形，AK⊥BF，
∴AB=BC，∠ABK=∠BCF=∠AHB=90°，
∴∠BAK+∠ABH=90°，∠ABH+∠CBF=90°，
∴∠BAK=∠CBF，
∴△ABK≌△BCF，
∴BK=CF，
∵BN∥DF，
∴$\frac{BG}{FG}$=$\frac{BN}{DF}$=$\frac{3}{2}$，
∴FG=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，BF=$\frac{5\sqrt{10}}{3}$，
设CF=a，则BC=3a，
∵a²+（3a）²=（$\frac{5\sqrt{10}}{3}$）²，
∴a=$\frac{5}{3}$，
∴AB=5，BK=$\frac{5}{3}$，AK=$\sqrt{A{B}^{2}+B{K}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{10}}{3}$，
∵BH=$\frac{AB•BK}{AK}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{1}{2}$BG，
∴BH=HG，AH=5$\sqrt{10}$，
∵AH⊥BG，
∴AB=AG，
∴∠KAB=∠KAG
∵∠MAD=∠MAG，AG=AD，AM=AM，
∴△AMG≌△AMD，∠MAK=45°，
∴∠AGM=∠ADM=90°，∠DAM+∠BAK=∠BAK+∠PAB=45°，
∴K、G、M共线，∠KAM=∠KAP=45°，∵KA=KA，AP=AM，
∴△KAM≌△KAP，
∴MK=PK，
∴MK=PB+BK=DM+BK=DM+$\frac{5}{3}$，
设DM=x，则MK=x+$\frac{5}{3}$，
在Rt△KMC中，（5-x）²+（$\frac{10}{3}$）²=（x+$\frac{5}{3}$）²，
∴x=$\frac{5}{2}$，
∴AM=$\frac{5}{2}$，
∴S_{四边形AGFM}=S_{正方形ABCD}-S_△ADM-S_△ABG-S_△BFC=25-$\frac{1}{2}$$•5•\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$•$\sqrt{10}$•$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$-$\frac{1}{2}$•5•$\frac{5}{3}$=$\frac{85}{12}$．
故答案为$\frac{85}{12}$．

点评 本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、极品飞车的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．