Question

10．设a、b是任意两个不等实数，我们规定满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数“．
（1）反比例函数y=$\frac{2015}{x}$是闭区间[1，2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[1，2015]上的“闭函数”，求此函数的解析式；
（3）若实数a、b满足a＜b，且b＞2，当二次函数y=$\frac{1}{4}$x²-x-1是闭区间[a，b]上的”闭函数“时，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数的增减性结合闭函数的定义，可进行判断；
（2）根据闭函数的定义，结合一次函数的增减性可得到关于k、b的方程组，可求得一次函数的解析式；
（3）把二次函数化为顶点式，求得其对称轴方程，分对称在区间内，在区间左侧两种情况，再分别表示出其最值，根据闭函数的定义可得到关于a、b的方程组，可求得a、b的值．

解答 解：（1）反比例函数y=$\frac{2015}{x}$是闭区间[1，2015]上的“闭函数”．
理由如下：
反比例函数y=$\frac{2015}{x}$在第一象限内，y随x的增大而减小，
当x=1时，y=2015，
当x=2015时，y=1，
∴当1≤x≤2015时，有1≤y≤2015，符合闭函数的定义，
故反比例函数y=$\frac{2015}{x}$是闭区间[1，2015]上的“闭函数”；
（2）分两种情况：k＞0或k＜0．
①当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=1}\\{2015k+b=2015}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴此函数的解析式是y=x；
②当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2015}\\{2015k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2016}\end{array}\right.$，
∴此函数的解析式是y=-x+2016；
（3）∵y=$\frac{1}{4}$x²-x-1=$\frac{1}{4}$（x-2）²-2，该抛物线开口向上，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．
①当a＜2＜b时，此时y=$\frac{1}{4}$x²-x-1有最小值-2，
∴a=-2，
由“闭函数”定义可知，b=$\frac{1}{4}$a²-a-1或b=$\frac{1}{4}$b²-b-1，
i）当b=$\frac{1}{4}$a²-a-1=b=$\frac{1}{4}$（-2）²-（-2）-1=2（由于b＞2舍去），
ii）当b=$\frac{1}{4}$b²-b-1得b=4-2$\sqrt{5}$＜2（舍去），或b=4+2$\sqrt{5}$（符合题意），
②当a≥2时，此时二次函数随x的增大而增大，由“闭函数”定义可知，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{a}^{2}-a-1=a}\\{\frac{1}{4}{b}^{2}-b-1=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4+2\sqrt{5}}\\{b=4+2\sqrt{5}}\end{array}\right.$（由a＜b，舍去）；
综上可知a=-2，b=4+2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查函数的增减性，充分理解题目中所给的闭函数的定义是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．