Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，连接AC、BC，且∠ACB＝90°．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图（1），若N是AC的中点，M是BC上一点，且满足CM＝2BM，连AM、BN相交于点E，求点M的坐标和△EMB的面积；

（3）如图（2），将△AOC沿直线BC平移得到△A′O′C′，再将△A′O′C′沿A′C′翻折得到△A′O′C′，连接AO′，AC′，请问△AO′C′能否构成等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点C的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）C的坐标为（）或（，）或（）．

【解析】

（1）∠ACB＝90°，则OC2＝OA×OB＝3，则点C（0，﹣），即可求解；

（2）证明则S△BEM＝S＝S△ABM，即可求解；

（3）分O″C′＝AO″、O″C′＝AC′、AO″＝AC′，三种情况，分别求解即可．

解：（1）∵∠ACB＝90°，

∠OBC+∠OCB＝90°，∠ACO+∠BCO＝90°，∴∠OBC＝∠ACO，

∴△COB∽△AOC，∴OC2＝OA×OB＝3，

则点C（0，﹣），则∠ACO＝30°，

则二次函数表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

即：﹣3a＝﹣，则a＝，

则抛物线的表达式为：；

（2）点C（0，﹣）、点B（0，3），

∵CM＝2BM，点M（2，），

连接CE，∵若N是AC的中点，

∴S△ABN＝S△CBN，S△AEN＝S△CEN，

∴S△EBA＝S△EBC，

设：S△BEM＝S，∵CM＝2BM，S△CBE＝3S＝S△EBA，

则S△BEM＝S＝S△ABM＝＝；

（3）能，理由：

如图2，过点C′作x轴的平行线交过点O″与y轴的平行线于点H，

∵∠AOC＝30°，∴∠O″C′H＝30°，即：∠HC′O′＝90°，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：

直线BC的表达式为：，

设点C′（n，），则HC′＝C′O″cos30°＝，

HO″＝，则点O″（，），

则O″C′2＝3，AO″2＝+2，AC′2＝（n+1）2+

①当O″C′＝AO″时，3＝+，解得：；

②当O″C′＝AC′时，无解；

③当AO″＝AC′时，同理可得：；

故点C的坐标为（，）或（，）或（，）．