Question

【题目】如图，抛物线l：y= （x﹣h）2﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将抛物线ι在x轴下方部分沿轴翻折，x轴上方的图象保持不变，就组成了函数的图象．

（1）若点A的坐标为（1，0）．
①求抛物线l的表达式，并直接写出当x为何值时，函数的值y随x的增大而增大；
②如图2，若过A点的直线交函数的图象于另外两点P，Q，且S△ABQ=2S△ABP ， 求点P的坐标；
（2）当2＜x＜3时，若函数f的值随x的增大而增大，直接写出h的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：①把A（1，0）代入抛物线y= （x﹣h）2﹣2中得：

（x﹣h）2﹣2=0，

解得：h=3或h=﹣1，

∵点A在点B的左侧，

∴h＞0，

∴h=3，

∴抛物线l的表达式为：y= （x﹣3）2﹣2，

∴抛物线的对称轴是：直线x=3，

由对称性得：B（5，0），

由图象可知：当1＜x＜3或x＞5时，函数的值y随x的增大而增大；

②如图2，作PD⊥x轴于点D，延长PD交抛物线l于点F，作QE⊥x轴于E，则PD∥QE，

由对称性得：DF=PD，

∵S△ABQ=2S△ABP，

∴ ABQE=2× ABPD，

∴QE=2PD，

∵PD∥QE，

∴△PAD∽△QAE，

∴ ，

∴AE=2AD，

设AD=a，则OD=1+a，OE=1+2a，P（1+a，﹣[ （1+a﹣3）2﹣2]），

∵点F、Q在抛物线l上，

∴PD=DF=﹣[ （1+a﹣3）2﹣2]，

QE= （1+2a﹣3）2﹣2，

∴ （1+2a﹣3）2﹣2=﹣2[ （1+a﹣3）2﹣2]，

解得：a= 或a=0（舍），

∴P（ ， ）

（2）解：当y=0时， （x﹣h）2﹣2=0，

解得：x=h+2或h﹣2，

∵点A在点B的左侧，且h＞0，

∴A（h﹣2，0），B（h+2，0），

如图3，作抛物线的对称轴交抛物线于点C，

分两种情况：

①由图象可知：图象f在AC段时，函数f的值随x的增大而增大，

则 ，

∴3≤h≤4，

②由图象可知：图象f点B的右侧时，函数f的值随x的增大而增大，

即：h+2≤2，

h≤0，

综上所述，当3≤h≤4或h≤0时，函数f的值随x的增大而增大．

【解析】（1）①利用待定系数法求抛物线的解析式，由对称性求点B的坐标，根据图象写出函数的值y随x的增大而增大（即呈上升趋势）的x的取值；②如图2，作辅助线，构建对称点F和直角角三角形AQE，根据S△ABQ=2S△ABP，得QE=2PD，证明△PAD∽△QAE，则 ，得AE=2AD，设AD=a，根据QE=2FD列方程可求得a的值，并计算P的坐标；（2）先令y=0求抛物线与x轴的两个交点坐标，根据图象中呈上升趋势的部分，有两部分：分别讨论，并列不等式或不等式组可得h的取值．
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．