如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠O)与y轴交于点C(O,4),与x轴交于点A和点B,其中点A的坐标为(-2,0),抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D,与直线BC交于点E
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点,是否存在点F使四边形ABFC的面积为17,若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P,与抛物线相交于点Q,若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标。
解:(1)由抛物线经过点C(O,4)可得c=4,①
∵对称轴x= =1,∴b=-2a,②,
又抛物线过点A(一2,O)∴0=4a-2b+c,③
由①②③ 解得:a=, b=1 ,c=4.
所以抛物线的解析式是y=x+x+4
(2)假设存在满足条件的点F,如图如示,连接BF、CF、OF.
过点F分别作FH⊥x轴于H , FG⊥y轴于G.
设点F的坐标为(t, t2+t+4),其中O<t<4,
则FH=t2 +t+4 FG=t,
∴△OBF=OB.FH=×4×(t2+4t+4)=一t2+2t+8
S△OFC=OC.FC=×4×t=2t
∴S四边形ABFC—S△AOC+S△OBF +S△OFC=4-t2+2t+8+2t=-t2+4t+12.
令一t2+4t+12 =17,即t2-4t+5=0,则△=(一4)2-4×5=一4<0,
∴方程t2 -4t+5=0无解,故不存在满足条件的点F..
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠O),又过点B(4,0,), C(0,4)
所以,解得:,
所以直线BC的解析式是y=一x+4. .
由y=x2+4x+4=一(x一1)2+,得D(1,), .
又点E在直线BC上,则点E(1,3),
于是DE=一3=
若以D.E.P.Q为顶点的四边形是平行四边形,因为DE∥PQ,只须DE=PQ,
设点P的坐标是(m,一m+4),则点Q的坐标是(m,一t2+m+4).
①当O<m<4时,PQ=(一t2+m+4)一(一m+4)=一m2+2m.
由一m2+2m= ,解得:m=1或3.当m=1时,线段PQ与DE重合,m=-1舍去,
∴m=-3,此时P1 (3,1).
②当m<o或m>4时,PQ=(一m+4)一(一m2++m+4)= m2—2m,
由m2—2m=,解得m=2±,经检验适合题意,
此时P2(2+,2一),P3(2一,2+).
综上所述,满足条件的点P有三个,分别是P1 (3,1),P2(2+,2 -),P3(2—,2十).
科目:初中数学 来源: 题型:
某天数学课上老师讲了整式的加减运算,小颖回到家后拿出自己的课堂笔记,认真
地复习老师在课堂上所讲的内容,她突然发现一道题目:
_________.
空格的地方被墨水弄脏了,请问空格中的一项是 ( )
A.+2ab B.+3ab C.+4ab D.-ab
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科目:初中数学 来源: 题型:
如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换.如此这样,连续经过2014次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为 ( )
A.(—2012,2) B.(一2012,一2)
C. (—2013,—2) D. (—2013,2)
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科目:初中数学 来源: 题型:
今年我市把男生“引体向上”项目纳入学业水平体育考试内容.考试前某校为了解 该项目的整体水平,从九年级220名男生中,随机抽取20名进行“引体向上” 测试成绩(单位:个)如下:
9 12 3 13 18 8 8 4 ■ ,12
13 12 9 8 12 13 18 13 12 10
其中有一数据被污损,统计员只记得11.3是这组样本数据的平均数.
(1)求该组样本数据中被污损的数据和这组数据的极差;
(2)请补充完整下面的频数、频率分布表和频数分布直方图;
(3)估计在学业水平体育考试中该校九年级有多少名男生能完成11个以上(包含11个)“引体向上”?
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科目:初中数学 来源: 题型:
如图,一次函数y=a(x2-2mx-3m2)(其中a,m是常数,且a>0,m>0)的图象与x轴分别交于点A,B(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C(0,-3),点D在二次函数的图象上,CD∥AB,连接AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E,AB平分∠DAE.
(1)用含m的代数式表示a;
(2)求证:为定值;
(3)设该二次函数图象的顶点为F.探索:在x轴的负半轴上是否存在点G,连接CF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.
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