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【题目】正方形ABCD的边长为2,将射线AB绕点A顺时针旋转α,所得射线与线段BD交于点M,作CEAM于点E,点N与点M关于直线CE对称,连接CN

(1)如图,当0°<α<45°时:

①依题意补全图;

②用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系:___________;

(2)当45°<α<90°时,探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明;

(3)当0°<α<90°时,若边AD的中点为F,直接写出线段EF长的最大值.

【答案】(1)①补图见解析;②∠NCE=2BAM(2)NCE+BAM=90°,证明见解析;(3)1+

【解析】

(1)作CEAM于点EN与点M关于直线CE对称连接CN.由△ABM≌△CBM可得∠BAM=∠BCM由∠ABC=∠CEA=90°,BCAE交于一点可得∠BAM=∠BCE即可得到∠MCE=2∠BAM由点N与点M关于直线CE对称可得CNCM即可得到∠NCE=∠MCE进而得出∠NCE=2∠BAM

(2)连接CM判定△ADM≌△CDM即可得到∠DAM=∠DCM再根据∠DAQ=∠ECQ即可得到∠NCE=∠MCE=2∠DAQ再根据∠BAM=∠BCM,∠BCM+∠DCM=90°,即可得到

(3)依据∠CEA=90°,即可得到点E在以AC为直径的圆上EF经过圆心O即可得出线段EF长的最大值

1)补全的图形如图所示

NCE=2∠BAM.理由如下

如图1,连接MC

ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABM=∠CBM

BM=BM,∴△ABM≌△CBM,∴∠BAM=∠BCM

∵∠ABC=∠CEA=90°,BCAE交于一点,∴∠BAM=∠BCE,∴∠MCE=2∠BAM

N与点M关于直线CE对称,∴CNCM,∴∠NCE=∠MCE,∴∠NCE=2∠BAM

故答案为:NCE=2∠BAM

(2).理由如下

如图连接CM

ADCD,∠ADM=∠CDMDMDM,∴△ADM≌△CDM,∴∠DAM=∠DCM

∵∠ADQ=∠CEQ=90°,∠AQD=∠CQE,∴∠DAQ=∠ECQ,∴∠NCE=∠MCE=2∠DAQ,∴

∵∠BAM=∠BCM,∠BCM+∠DCM=90°,∴

(3)如图,∵CEA=90°,∴点E在以AC为直径的圆上O为圆心由题可得OFCD=1,OEOCAC

OE+OFEF∴当EF经过圆心O

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销售量

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1

1

2

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2

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