Question

【题目】如图，射线AN上有一点B，AB＝5，tan∠MAN＝，点C从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AN运动，过点C作CD⊥AN交射线AM于点D，在射线CD上取点F，使得CF＝CB，连结AF．设点C的运动时间是t（秒）（t＞0）．

（1）当点C在点B右侧时，求AD、DF的长．（用含t的代数式表示）

（2）连结BD，设△BCD的面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式．

（3）当△AFD是轴对称图形时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）AD＝5t，DF=t+5．（2）当0＜t＜时，S＝﹣6t2+10t．当t＞时，S＝6t2﹣10t．（3）t的值为或或．

【解析】

(1)利用勾股定理算出AD,表示出CB,即可表示出DF.

(2)分别讨论0＜t＜时和t＞时,利用面积公式计算即可.

(3)分别讨论当DF＝AD时的一种情况、当AF＝DF时的两种情况.

解：（1）在Rt△ACD中，AC＝3t，tan∠MAN＝，

∴CD＝4t．

∴AD＝，

当点C在点B右侧时，CB＝3t﹣5，

∴CF＝CB．

∴DF＝4t﹣（3t﹣5）＝t+5．

（2）当0＜t＜时，S＝（5﹣3t）4t＝﹣6t2+10t．

当t＞时，S＝（3t﹣5）4t＝6t2﹣10t．

（3）①如图1中，当DF＝AD时，△ADF是轴对称图形．

则有5﹣3t﹣4t＝5t，解得t＝，

②如图2中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．

作FH⊥AD．

∵FA＝DF，

∴AH＝DH＝t，

由cos∠FDH＝，可得，解得t＝．

③如图3中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．

作FH⊥AD．

∵FA＝DF，

∴AH＝DH＝t，

由cos∠FDH＝，可得，解得t＝．

综上所述，满足条件的t的值为或或．