Question

18．如图，已知⊙O中，PA切⊙O于A，PB过圆心且与圆交于点C，D为$\widehat{BC}$中点，AD交BC于E，若AB=8，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$．
（1）求BD与AD的长；
（2）求DE•DA的值．

Answer 1

分析 （1）连接CD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．由△ADE≌△ADF，推出AE=AF，DE=DF，由△DEB≌△DFC，推出BE=CF，推出AB+AC=AE+BE+AF=CF=2AE，推出2AE=14，即AE=7，分别在Rt△ADE中和Rt△BED中，求出AD、BD即可．
（2）由△BDE∽△ADB，可得$\frac{BD}{AD}$=$\frac{DE}{BD}$，推出DE•AD=BD²，由此即可解决问题．

解答 解：（1）连接CD，作DM⊥AB于M，DF⊥AC于F．
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∵AB=8，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，
∴AC=6，BC=10，
∵$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴BD=DC，∠MAD=∠FAD=45°，
在△ADM和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAD=∠FAD}\\{∠ADM=∠AFD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ADF，
∴AM=AF，DM=DF，
在Rt△BDM和Rt△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DM=DF}\end{array}\right.$，
∴△DMB≌△DFC，
∴BM=CF，
∴AB+AC=AM+BM+AF-CF=2AM，
∴2AM=14，
∴AM=7，
在Rt△ADM中，AM=MD=7，
∴AD=$\sqrt{2}$AM=7$\sqrt{2}$，
在Rt△BMD中，∵∠BMD=90°，BM=1，DM=7，
∴BD=$\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．

（2）∵∠DBE=∠CAD=∠BAD，∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽△ADB，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{DE}{BD}$，
∴DE•AD=BD²=（5$\sqrt{2}$）²=50．

点评 本题考查切线的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．