Question

如果抛物线m的顶点在抛物线n上，同时抛物线n的顶点在抛物线m上，那么我们就称抛物线m与n为交融抛物线．
（1）已知抛物线a：y=x²-2x+1．判断下列抛物线b：y=x²-2x+2，c：y=-x²+4x-3与已知抛物线a是否为交融抛物线？并说明理由；
（2）在直线y=2上有一动点P（t，2），将抛物线a：y=x²-2x+1绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线l，若抛物线a与l为交融抛物线，求抛物线l的解析式；
（3）M为抛物线a；y=x²-2x+1的顶点，Q为抛物线a的交融抛物线的顶点，是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形MQS，使其直角顶点S在y轴上？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）通过以上问题的探究解决，相信你对交融抛物线的概念及性质有了一定的认识，请你提出一个有关交融抛物线的问题．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）求出抛物线a的顶点坐标，分别代入抛物线b与抛物线c，判断即可．
（2）先确定点M的坐标，作点M关于点P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E、F，可求出N的纵坐标，代入求出N的横坐标，分类讨论即可；
（3）设点S（0，c），则点Q的坐标分两类：①M，Q，S逆时针分布时；②M，Q，S顺时针分布时；分别求解即可．
（4）本题答案不唯一，可以自由发挥．

解答：解：（1）∵抛物线a：y=x²-2x+1=y=（x-1）²的顶点坐标为M（1，0），
当x=1时，y=x²-2x+2=1-2+2=1≠0，
∴点M不在抛物线b上
∴抛物线a与抛物线b不是交融抛物线；
∵当x=1时，y=-x²+4x-3=-1+4-3=0，
∴点M在抛物线c上，
∵抛物线c：y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1的顶点N（2，1），
当x=2时，y=x²-2x+1=4-4+1=1，
∴点N在抛物线a上，
∴抛物线a与抛物线c是交融抛物线；

（2）抛物线a：y=x²-2x+1=（x+1）²的顶点坐标为M（1，0），
作点M关于点P的对称点N，
分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E、F，

则ME=NF=2，
∴点N的纵坐标为4，
当y=4时，x²-2x+1=4，解得x₁=-1，x₂=3，
∴N（-1，4）或N（3，4），
当N（-1，4）时，设抛物线l的解析式为y=a（x+1）²+4，
∵点M（1，0）在抛物线l上，
∴0=a（1+1）²+4，
∴a=-1，
∴抛物线l的解析式为y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3，
当N（3，4）时，设抛物线l的解析式为y=a（x-3）²+4，
∵点M（1，0）在抛物线l上，
∴0=a（1-3）²+4，
∴a=-1，
∴抛物线l的解析式为y=-（x-3）²+4=-x²+6x-5；
∴所求抛物线为y=-x²-2x+3或y=-x²+6x-5．

（3）设点S（0，c），则点Q的坐标分两类：
①当M，Q，S逆时针分布时（如图中Q），

过点Q作QD⊥y轴于D，则△QDS≌△SOM，
∴QD=OS=c，OD=DS+OS=c+1，
∴点Q（c，c+1），
∵点Q在抛物线y=x²-2x+1上，
∴c+1=c²-2c+1，
解得c=0或c=3，
∴S（0，0）或S（0，3），
②当M，Q，S顺时针分布时（如图中Q'），

同理可得Q'（-c，c-1），
∵点Q'在抛物线y=x²-2x+1上，
∴c-1=c²+2c+1，
即c²+c+2=0，
∵△＜0，
∴此方程无解，
综上所述，存在符合条件的等腰直角三角形，其中S（0，0）或S（0，3）；

（4）参考答案：
例如：（ⅰ）交融抛物线一定是中心对称图形吗？
（ⅱ）交融抛物线的开口方向一定相反吗？
（ⅲ）交融抛物线的开口大小一样吗？
（ⅳ）交融抛物线的开口大小一样时，需满足什么条件？
（ⅴ）交融抛物线是轴对称图形吗？

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了全等三角形的判定，抛物线的顶点坐标及一元二次方程的解，难度较大，关键是数形结合思想的运用．