Question

【题目】已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）与x轴交于AB两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C．

（1）当m≠﹣4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；

（2）若OAOB＝6，求点C的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上找一点P，使S△PAC的面积为15，求P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）点C的坐标为（0，6）；（3）P点的坐标为（﹣5，﹣14）或（2，0）．

【解析】

（1）当m≠﹣4时，先得出判别式大于零，再判断出这个二次函数的图象与x轴必有两个交点．

（2）根据抛物线y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1），求出x1和x2的值，可求OA．

（3）可设P点的坐标为（a，﹣a2﹣a+6），根据S△PAC的面积为15，分P在y轴左边或右边两种情况讨论，列出方程可求P点的坐标．

解：（1）∵m≠﹣4，

∴△＝（m﹣2）2﹣4×（﹣1）×3（m+1）＝（m+4）2＞0，

∴当m≠﹣4时，二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）的图象与x轴必有两个交点；

（2）令y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）＝0，

解得x1＝m+1，x2＝﹣3，

∵二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）与x轴交于AB两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C，

∴A（﹣3，0），B（m+1，0），m+1＞0，

∵OAOB＝6，

∴3（m+1）＝6，

解得m＝1，

∴二次函数y＝﹣x2﹣x+6，

当x＝0时，y＝6，

∴点C的坐标为（0，6）；

（3）设P点的坐标为（a，﹣a2﹣a+6），

如图一所示，

当P在y轴左边时，,并且有：

则有：

即：，

解得a＝﹣5，a＝2（不合题意，舍去），

∴P点的坐标为（﹣5，﹣14）；

如图二所示，

当P在y轴右边，,并且有：

则有：

即：，

解得a＝﹣5（不合题意，舍去），a＝2，

∴P点的坐标为（2，0）；

故P点的坐标为（﹣5，﹣14）或（2，0）．