Question

1．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一点，DF⊥BE，交BE的延长线于点F，连接AF．若DF=1，AF=$\sqrt{2}$，则BD的长是$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 作DH⊥AF于H，如图，利用正方形的性质得∠ADB=45°，再∴点F、A在以BD为直径的圆上，则利用圆周角定理得到∠AFB=∠ADB=45°，所以∠DFH=45°，于是利用等腰直角三角形的性质得到DH=FH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，然后根据勾股定理可计算出AD=$\sqrt{5}$，于是得到BD=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{10}$．

解答 解：作DH⊥AF于H，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，
∵DF⊥BE，
∴∠DFB=90°，
而∠BAD=90°，
∴点F、A在以BD为直径的圆上，
∴∠AFB=∠ADB=45°，
∴∠DFH=45°，
∴△DFH为等腰直角三角形，
∴DH=FH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AH=AF+FH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△ADH中，AD=$\sqrt{D{H}^{2}+A{H}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BD=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{10}$．
故答案为$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．解决问题的关键是证明∠AFB=45°．