Question

【题目】如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC=BC=2，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC 的中点．当点 P 沿半圆从点A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是_____．

Answer 1

【答案】π

【解析】

取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=2，则OC=AB=，OP=AB=，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．

解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，

∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，

∴AB=BC=2，

∴OC=AB=，OP=AB=，

∵M为PC的中点，

∴OM⊥PC，

∴∠CMO=90°，

∴点M在以OC为直径的圆上，

点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=，

∴M点的路径为以EF为直径的半圆，

∴点M运动的路径长=2π=π．

故答案为π．