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如图,在直角坐标系中,半径为2cm的动圆M与y轴交于A、B两点,且保持弦AB长为定值2cm,圆精英家教网M与x轴没有交点,且圆心M在第一象限内,P是x轴正半轴上一动点,MQ⊥AB于Q,且MP=3cm,设OA=ycm,OP=xcm.
(1)求x、y所满足的关系式,并写出x的取值范围;
(2)当△MOP为等腰三角形时,求相应x的值;
(3)是否存在大于2的实数x,使△MQO∽△OMP?若存在,求出相应的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)过M点作MN⊥OA于N,连接MA,在Rt△AMQ中,AQ=
1
2
AB,利用勾股定理求出MQ=
3
,也就是ON的长度,而OQ=OA+AQ=y+1,在Rt△MNP中,再利用勾股定理列式整理即可得到y与x的关系式,根据被开方数不小于0解不等式即可求出x的取值范围;
(2)因为两条边是腰长不明确,所以分①OP=PM,②OM=PM,③OM=OP三种情况讨论求解;
(3)假设存在,根据相似三角形对应边成比例列出比例式,解方程,如果符合条件,则存在,否则,假设不成立,不存在.
解答:精英家教网解:(1)过M点作MN⊥OA,垂足为N,连接MA,
∵AB=2,MA=2,M为圆心,
∴AQ=
1
2
AB=1,
∴ON=QM=
3
,MN=y+1,
在Rt△MNP中,MP=3,PN=x-
3

∴(y+1)2=9-(x-
3
2
∴y=
6+2
3
x-x2
-1(0<x<
3
+
5
)


(2)当△MOP为等腰三角形时,
①若OP=PM=3时,x=3,
②若OM=PM时,x=2
3

③若OM=OP时,有(y+1)2+3=x2
即9-(x-
3
2+3=x2
解得x=
3
+
11
2
x=
3
-
11
2
(舍去);

(3)当△MQO∽△OMP时,有
MQ
OM
=
OM
OP

3
3+(y+1)2
=
3+(y+1)2
x

3+(y+1)2=
3
x,(y+1)2=
3
x-3

9-(x-
3
)2=
3
x-3

解得x=
3
+
39
2
x=
3
-
39
2
(舍去)但
3
+
39
2
3
+
5

∴不存在满足条件的实数x,使△MQO∽△OMP.
点评:本题考查点较多,有垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质和相似三角形对应边成比例的性质,熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键.
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PP′
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6
x
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3
2
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6
x
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6
6

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(8052,0)
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