Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象过点（-1，0），顶点为（1，2），则结论：
①abc＞0；②x=1时，函数最大值是2；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤2c＜3b．
其中正确的结论有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：根据抛物线开口向下判断出a＜0，再根据对称轴判断出b＞0，根据抛物线与y轴的交点判断出c＞0，然后根据有理数的乘法判断出①错误；根据抛物线的顶点坐标判断②正确；根据图象，抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），然后根据x=2时的函数值大于0判断出③正确；根据抛物线对称轴求出④正确；根据x=-1时的函数值为0，再把a用b表示并代入整理得到2c=3b，判断出⑤错误．
解答：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-=1，
∴b=-2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵顶点坐标为（1，2），
∴x=1时，函数最大值是2，故②正确；
根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（0，3），
∴x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故③正确；
∵b=-2a，
∴2a+b=0，故④正确；
当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴--b+c=0，
∴2c=3b，故⑤错误；
综上所述，正确的结论有②③④共3个．
故选C．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax²+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，要注意特殊值的利用．