Question

5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）是抛物线y=ax²+2x-c上的一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点B（0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为C，新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为P．
（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C的坐标；
（2）求∠CAB的正切值；
（3）如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ与△ACP相似，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据点B（0，2）向上平移6个单位得到点B'（0，8），将A（4，0），B'（0，8）分别代入y=ax²+2x-c，得原抛物线为y=-x²+2x+8，向下平移6个单位后所得的新抛物线为y=-x²+2x+2，据此求得顶点C的坐标；
（2）根据A（4，0），B（0，2），C（1，3），得到AB²=20，AC²=18，BC²=2，进而得出AB²=AC²+BC²，根据∠ACB=90°，求得tan∠CAB的值即可；
（3）先设抛物线的对称轴x=1与x轴交于点H，根据$\frac{PH}{AH}$=$\frac{BO}{AO}$=$\frac{1}{2}$，求得PH=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{3}{2}$，进而得到P（1，$\frac{3}{2}$），再由HA=HC=3，得∠HCA=45°，根据当点Q在点C下方时，∠BCQ=∠ACP，因此△BCQ与△ACP相似分两种情况，根据相似三角形的性质即可得到点Q的坐标．

解答 解：（1）点B（0，2）向上平移6个单位得到点B'（0，8），
将A（4，0），B'（0，8）分别代入y=ax²+2x-c，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a+8+c=0}\\{c=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=8}\end{array}\right.$，
∴原抛物线为y=-x²+2x+8，向下平移6个单位后所得的新抛物线为y=-x²+2x+2，
∴顶点C的坐标为（1，3）；

（2）如图2，由A（4，0），B（0，2），C（1，3），得
AB²=20，AC²=18，BC²=2，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°，
∴tan∠CAB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$；


（3）如图3，设抛物线的对称轴x=1与x轴交于点H，
由$\frac{PH}{AH}$=$\frac{BO}{AO}$=$\frac{1}{2}$，得PH=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{3}{2}$，
∴P（1，$\frac{3}{2}$），
由HA=HC=3，得∠HCA=45°，
∴当点Q在点C下方时，∠BCQ=∠ACP，
因此△BCQ与△ACP相似分两种情况：
①如图3，当$\frac{CQ}{CB}$=$\frac{CA}{CP}$时，$\frac{CQ}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\frac{3}{2}}$，
解得CQ=4，
此时Q（1，-1）；

②如图4，当$\frac{CQ}{CB}$=$\frac{CP}{CA}$时，$\frac{CQ}{\sqrt{2}}$=$\frac{\frac{3}{2}}{3\sqrt{2}}$，
解得CQ=$\frac{1}{2}$，
此时Q（1，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象的平移、直角三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定和性质的综合应用，解题时注意：第（3）题在不确定相似三角形的对应边和对应角的情况下，要分类讨论，以免漏解．