Question

20．如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点M，且∠A=∠B
（1）求证：AC=BD；
（2）若OA=4，∠A=30°，当AC⊥BD时，求：
①弧CD的长；
②图中阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，根据圆周角定理得出∠EDB=∠FCA=90°，故可得出△DEB≌△CFA，由此得出结论；
（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，CD，OD，OC，求出∠COA的度数，再由三角形外角的性质得出∠EOA的度数，由弧长公式即可得出结论；
（3）过O作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，连接OM，根据垂径定理得到AG=$\frac{1}{2}$AC，BH=$\frac{1}{2}$BD，推出四边形OGMH是正方形，根据正方形的性质得到GM=HM=OG=OH，得到AM=BM，解直角三角形得到AM=BM=2+2$\sqrt{3}$，根据全等三角形的性质得到∠B=∠A=30°，求得∠AOB=150°，于是得到结．

解答 （1）证明：延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，
∵BE，AF是⊙O的直径，
∴∠EDB=∠FCA=90°．
在△DEB与△CFA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EDB=∠FCA}\\{∠B=∠A}\\{EB=FA}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△CFA（AAS），
∴AC=BD；

解：（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，CD，OD，OC，
∵∠A=30°，OA=OC，
∴∠COA=180°-30°-30°=120°．
∵∠A=∠B=30°，AC⊥BD，
∴∠EOA+∠A=60°，
∴∠EOA=30°，
∴∠DOE=60°，
∴∠COD=30°，
∴l${\;}_{\widehat{CD}}$=$\frac{30πR}{180}$=$\frac{2}{3}$π；

（3）过O作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，连接OM，
则AG=$\frac{1}{2}$AC，BH=$\frac{1}{2}$BD，
∵AC=BD，
∴OG=OH，AG=BH，
∴四边形OGMH是正方形，
∴GM=HM=OG=OH，
∴AM=BM，
∵OA=4，∠A=30°，
∴AG=2$\sqrt{3}$，GM=HM=OG=OH=2，
∴AM=BM=2+2$\sqrt{3}$，
在Rt△AGO与Rt△BHO中$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{OG=OH}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGO≌Rt△BHO，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠AOG=∠BOH=60°，
∴∠AOB=150°，
∴S_阴影=S_扇形+S_△AOM+S_△BOM=$\frac{150•π×{4}^{2}}{360}$+2×$\frac{1}{2}×$（2+2$\sqrt{3}$）×2=$\frac{20π}{3}$+4$\sqrt{3}$+4．

点评 本题考查的是垂径定理，扇形面积的计算，全等三角形的判断和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．