Question

已知关于x的方程kx²+2（k+1）x-3=0
（1）若方程有两个有理数根，求整数k的值
（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程根的情况．

Answer 1

分析：（1）方程有两根，则根据跟的判别式求出k的取值范围，然后根据两根都是有理数，进而判断出整数k的值，
（2）分类讨论，当k=0时，方程是一元一次方程，方程的根只有一个，当k≠0，结合不等式16k+3＞0和跟的判别式等条件讨论出方程根的情况．

解答：解：（1）若方程有两个有理数根，
则△=4（k+1）²+12k≥0，
解得k≤

-5- 21

2

或k≥

-5+ 21

2

，
若一元二次方程有有理根，
则△=4（k+1）²+12k是一个有理数的平方，
解得k=3或-5或-8，

（2）若k满足不等式16k+3＞0，
即k＞-

3

16

，
①若k=0，方程kx²+2（k+1）x-3=0只有一个根，
②当k≠时，方程kx²+2（k+1）x-3=0为一元二次方程，
令△=4（k+1）²+12k=4k²+20k+4=0，
解得k=

-5± 21

2

，
又知-

3

16

＞

-5+ 21

2

，
∴当16k+3＞0时，△＞0，
∴方程有两个根，
故当k=0时，方程有一个根，
当k≠0，16k+3＞0，时，方程有两个根．

点评：本题主要考查一元二次方程的整数根与有理根的知识点，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系和跟的判别式的知识，此题有点难度．