Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，，，，E，M为线段AC上两个不重合的动点（点E在点M上方，且均不与端点重合），，与BC交于点F，四边形EMNF为平行四边形，连结BN.

（1）求直线AC与直线BC的解析式；

（2）若设点F的横坐标为x，点M的纵坐标为y，当四边形EMNF为菱形时，请求y关于x的函数解析式及相应x的取值范围；

（3）请求出当为等腰三角形时，面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）直线AC解析式为，直线BC解析式为；

（2）y关于x的函数解析式为，x的取值范围为；

（3）.

【解析】

（1）待定系数法求解析式即可；

（2）利用邻边相等的平行四边形是菱形的性质，用字母把邻边表示出来求解即可；

（3）首先判断等腰三角形的可能性，大胆设出F，N的坐标，列出平行四边形的面积的函数，根据二次函数的性质求最大面积.

解：(1) 设直线AC解析式为：，将，代入得，

解得

所以，直线AC解析式为.

设直线BC解析式为：，将，代入得，

解得

所以，直线BC解析式为.

（2）点F的横坐标为x，且F在直线BC上，

点M的纵坐标为y，且M在直线AC上，

E、F的纵坐标相同，又E在直线AC上，

四边形EMNF为菱形，

整理得：

E在M上方，即E点纵坐标大于M点纵坐标，

即

又

对两边进行开方得，

整理得：

由题知，，即

解得

y关于x的函数解析式为，x的取值范围为.

（3）由题意当或时，点N在外，不符合题意，

当时，作交EF于点D，

设，，

易得，，，

，

设FN中点为点G，又，

，

∵在△BNF中，

，

，

又，

，

，

，

解得，

由题意，

当时，的面积有最大值，

此时.