如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=8,CD=6,BC = 4,AB边上有一动点P(不与A、B重合),连结DP,作PQ⊥DP,使得PQ交射线BC于点E,设AP=x.
⑴当x为何值时,△APD是等腰三角形?
⑵若设BE=y,求y关于x的函数关系式;
⑶若BC的长可以变化,在现在的条件下,是否存在点P,使得PQ经过点C?若存在,求出相应的AP的长;若不存在,请说明理由,并直接写出当BC的长在什么范围内时,可以存在这样的点P,使得PQ经过点C.
⑴当x为2、4、5时,△APD是等腰三角形⑵y=-
x2+
x-4⑶不存在,0<BC≤3
【解析】⑴解:过D点作DH⊥AB于H ,
则四边形DHBC为矩形,
∴DH=BC=4,HB=CD=6 ∴AH=2,AD=2…………………1分
∵AP=x, ∴PH=x-2,
情况①:当AP=AD时,即x=2……………………………2分
情况②:当AD=PD时,则AH=PH
∴2=x-2,解得x= 4………………………………………………………·3分
情况③:当AP=PD时,
则Rt△DPH中,x2=42+(x-2)2,解得x=5…………………………………4分
∵2<x<8,∴当x为2、4、5时,△APD是等腰三角形…………………………5分
⑵易证:△DPH∽△PEB ………………………………………………………………7分
∴,∴
整理得:y=
(x-2)(8-x)=-
x2+
x-4………8分
⑶若存在,则此时BE=BC=4,即y=-x2+
x-4=4,整理得: x2-10x+32=0
∵△=(-10)2-4×32<0,∴原方程无解,……………………………………………9分
∴不存在点P,使得PQ经过点C……………………………………………………10分
当BC满足0<BC≤3时,存在点P,使得PQ经过点C……………………………12分
1、过D点作DH⊥AB于H,则四边形DHBC为矩形,在Rt△AHD中,由勾股定理可求得DH、AD、PH的值,若△ADP为等腰三角形,则分三种情况:①当AP=AD时,x=AP=AD,②当AD=PD时,有AH=PH,故x=AH+PH,③当AP=PD时,则在Rt△DPH中,由勾股定理可求得DP的值,有x=AP=DP.
2、易证:△DPH∽△PEB⇒,即
,故可求得y与x的关系式.
3、利用△DPH∽△PEB,得出,进而利用根的判别式和一元二次不等式解集得出即可.
科目:初中数学 来源: 题型:
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