Question

（2013•十堰）如图，正三角形ABC的边长是2，分别以点B，C为圆心，以r为半径作两条弧，设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S，当

2

≤r＜2时，S的取值范围是

π

2

-1≤S＜

4π

3

-

3

．

Answer 1

分析：首先求出S关于r的函数表达式，分析其增减性；然后根据r的取值，求出S的最大值与最小值，从而得到S的取值范围．

解答：解：如右图所示，过点D作DG⊥BC于点G，易知G为BC的中点，CG=1．
在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG=

CD2-CG2

=

r2-1

．
设∠DCG=θ，则由题意可得：
S=2（S_扇形CDE-S_△CDG）=2（

θπr2

360

-

1

2

×1×

r2-1

）=

θπr2

180

-

r2-1

，
∴S=

θπr2

180

-

r2-1

．
当r增大时，∠DCG=θ随之增大，故S随r的增大而增大．
当r=

2

时，DG=

r2-1

=1，∵CG=1，故θ=45°，
∴S=

45π( 2 )2

180

-

( 2 )2-1

=

π

2

-1；
若r=2，则DG=

r2-1

=

3

，∵CG=1，故θ=60°，
∴S=

60π22

180

-

22-1

=

4π

3

-

3

．
∴S的取值范围是：

π

2

-1≤S＜

4π

3

-

3

．
故答案为：

π

2

-1≤S＜

4π

3

-

3

．

点评：本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质、勾股定理等重要知识点．解题关键是求出S的函数表达式，并分析其增减性．