试题分析:(1)由抛物线经过点A(1,0),B(5,0),C(0,
)三点,利用待定系数法求二次函数的解析式;
(2)由点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,可得y<0,即﹣y>0,﹣y表示点E到OA的距离,又由S=2S
△OBE=2×
×OB•|y|,即可求得平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,结合图象,求得自变量x的取值范围;
(3)由当OB⊥EF,且OB=EF时,平行四边形OEBF是正方形,可得此时点E坐标只能(
,﹣
),而坐标为(
,﹣
)点在抛物线上,故可判定存在点E,使平行四边形OEBF为正方形.
试题解析:(1)设所求抛物线的解析式为y=ax
2+bx+c,
∵抛物线经过点A(1,0),B(5,0),C(0,
)三点,则由题意可得:
,解得
.
∴所求抛物线的解析式为:y=x
2﹣4x+
;
(2)∵点E(x,y)是抛物线上一动点,且在x轴下方,
∴y<0,
即﹣y>0,﹣y表示点E到OA的距离.
∵OB是平行四边形OEBF的对角线,
∴S=2S
△OBE=2××OB•|y|=﹣5y=﹣5(x
2﹣4x+
)=﹣
x
2+20x﹣
,
∵S=﹣
(x﹣3)
2+
∴S与x之间的函数关系式为:S=﹣
x
2+20x﹣
(1<x<5),S的最大值为
;
(3)∵当OB⊥EF,且OB=EF时,平行四边形OEBF是正方形,
∴此时点E坐标只能(
,﹣
),而坐标为(
,﹣
)点在抛物线上,
∴存在点E(
,﹣
),使平行四边形OEBF为正方形,
此时点F坐标为(
,
).