Question

【题目】如图，已知点A，B，C在半径为4的⊙O上，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D．

（Ⅰ）若∠ABC=29°，求∠D的大小；

（Ⅱ）若∠D=30°，∠BAO=15°，作CE⊥AB于点E，求：

①BE的长；

②四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）∠D=32°；（2）①BE＝；②

【解析】

（Ⅰ）连接OC, CD为切线，根据切线的性质可得∠OCD=90°，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC=29°×2=58°，根据直角三角形的性质可得∠D的大小.

（Ⅱ）①根据∠D=30°，得到∠DOC=60°，根据∠BAO=15°，可以得出∠AOB=150°，进而证明△OBC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出

根据圆周角定理得出根据含角的直角三角形的性质即可求出BE的长；

②根据四边形ABCD的面积=S△OBC+S△OCD﹣S△OAB进行计算即可.

（Ⅰ）连接OC,

∵CD为切线，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∵∠AOC=2∠ABC=29°×2=58°，

∴∠D=90°﹣58°=32°；

（Ⅱ）①连接OB,

在Rt△OCD中，∵∠D=30°，

∴∠DOC=60°，

∵∠BAO=15°，

∴∠OBA=15°，

∴∠AOB=150°，

∴∠OBC=150°﹣60°=90°，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∴

∵

在Rt△CBE中，

∴

②作BH⊥OA于H，如图，

∵∠BOH=180°﹣∠AOB=30°，

∴

∴四边形ABCD的面积=S△OBC+S△OCD﹣S△OAB