Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于点C，以OB，BC为边作OBCD，连接AD并延长交⊙O于点E，交直线PQ于点F．

（1）求证：AF⊥CF；

（2）连接OC，BD交于点H，若tan∠OCB＝3，⊙O的半径是5，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，如图，根据平行四边形的性质得到DC∥OB，DC=OB，推出四边形OCDA是平行四边形，得到AF∥OC，根据切线的性质得到∠OCQ=90°，于是得到结论；

（2）过点B作BN⊥OC于点N，如图，根据平行四边形的性质得到BD=2BH，,，设CN=x，BN=3x，求得ON=5﹣x,根据勾股定理即可得到结论.

（1）证明：连接OC，如图，

∵四边形OBCD是平行四边形，

∴DC∥OB，DC=OB，

∵AO=OB，

∴DC∥AO，DC=AO，

∴四边形OCDA是平行四边形，

∴AF∥OC，

∵直线PQ与⊙O相切于点C，OC是半径，

∴∠OCQ=90°，

∴∠AFC=∠OCQ=90°，

即AF⊥CF；

（2）过点B作BN⊥OC于点N，如图，

∵四边形OBCD是平行四边形，

∴BD=2BH，．

在Rt△BNC中，，

设CN=x，BN=3x，

∴ON=5﹣x．

在Rt△ONB中，（5﹣x）2+（3x）2=52，

解得x1=0（舍），x2=1．

∴BN=3x=3，．

在Rt△HNB中，由勾股定理可得．

∴．