Question

4．已知抛物线y=ax²+bx（a＜0）与x轴的一个交点为B，顶点A在直线y=$\sqrt{3}$x上，O为坐标原点．
（1）证明：△OAB为等边三角形；
（2）若△OAB的内切圆半径为1，求此抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△POB是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点A作AC⊥OB于点C．首先依据特殊锐角三角函数值求得∠AOC=60°，然后根据抛物线的对称性可知OA=AB，最后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可；
（2）如图2所示：过点A作AC⊥OB于点C，连接OI．由等边三角形的内心与外心重合可知，∠IOC=30°，然后依据特殊锐角三角函数值求得OC、IC的长，从而可得到顶点A与点B的坐标，最后依据待定系数法可求得抛物线的解析式；
（3）可分为∠OBP=90°、∠OPB=90°、∠OPB=90°三种情况，当∠OPB=90°时，过点P作PD⊥OB，垂足为D．然后依据相似三角形的性质列方程求解即可．

解答 （1）证明：如图1所示：过点A作AC⊥OB于点C．

∵点A在直线y=$\sqrt{3}$x上，设A（x，$\sqrt{3}$x）．
∴在Rt△OAC中，tan∠AOC=$\frac{AC}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}x}{x}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AOC=60°，由抛物线的对称性可知OA=AB，
∴△AOB为等边三角形．
（2）如图2所示：过点A作AC⊥OB于点C，连接OI．

设△AOB的内心为I，则∠IOC=30°．
∵Rt△IOC中，IC=1，
∴OI=2，AI=2，OC=$\sqrt{3}$．
∴顶点A（$\sqrt{3}$，3），B（2$\sqrt{3}$，0）．
代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{3a+\sqrt{3}b=3}\\{12a+2\sqrt{3}b=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=2$\sqrt{3}$．
∴抛物线的函数表达式为y=-x²+2$\sqrt{3}$x．
（3）当∠POB=90°时，点P在y轴上，不存在满足条件的点P；
当∠OBP=90时，点P在直线x=2$\sqrt{3}$，不存在满足条件的点P；
当∠OPB时，如图3所示；过点P作PD⊥OB，垂足为D．

∵∠OPD=∠PDB=90°，∠POD=∠BPD，
∴△OPD∽△PBD，
∴$\frac{PD}{BD}=\frac{OD}{PD}$，即PD²=OD•BD．
∵B（2$\sqrt{3}$，0），
∴n²=m（2$\sqrt{3}$-m）①．
∵点P（m，n）在抛物线y=-x²+2$\sqrt{3}$x上，
∴n=-m²+2$\sqrt{3}$m②．
由①、②得：n₁=0，n₂=1．
当n=1时，-m²+2$\sqrt{3}$m=1．解得；m₁=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，m₂=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$．
∴被抛物线y=-x²+2$\sqrt{3}$x上存在点P使△POB为直角三角形，其点P的坐标为p₁（$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，1）、p₂（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，1）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等边三角形的判定、二次函数的图象和性质、相似三角形的性质，由相似三角形的性质列出关于m、n的方程是解题的关键．