Question

4．如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．
（1）用含m的代数式表示出b；
（2）若S_△OAF+S_{四边形EFBC}=4，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法点A的纵坐标相等列出等式即可解决问题．
（2）作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．记△AOF面积为S，则△OEF面积为2-S，四边形EFBC面积为4-S，△OBC和△OAD面积都是6-2S，△ADM面积为4-2S=2（2-s），所以S_△ADM=2S_△OEF，推出EF=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$NB，得B（2m，$\frac{2}{m}$）代入直线解析式即可解决问题．

解答 解：（1）∵点A在反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上，且点A的横坐标为m，
∴点A的纵坐标为$\frac{4}{m}$，即点A的坐标为（m，$\frac{4}{m}$）．
令一次函数y=-x+b中x=m，则y=-m+b，
∴-m+b=$\frac{4}{m}$
即b=m+$\frac{4}{m}$．

（2）作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．

∵反比例函数y=$\frac{4}{x}$、一次函数y=-x+b都是关于直线y=x对称，
∴AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，记△AOF面积为S，
则△OEF面积为2-S，四边形EFBC面积为4-S，△OBC和△OAD面积都是6-2S，△ADM面积为4-2S=2（2-s），
∴S_△ADM=2S_△OEF，
由对称性可知AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC，
∴EF=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$NB，
∴EF是△OBN的中位线，
∴N（2m，0），
∴点B坐标（2m，$\frac{2}{m}$）代入直线y=-x+m+$\frac{4}{m}$，
∴$\frac{2}{m}$=-2m+m+$\frac{4}{m}$，整理得到m²=2，
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查反比例函数与一次函数图象的交点、对称等知识，解题的关键是利用对称性得到很多相等的线段，学会设参数解决问题．