Question

9．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC为⊙O的直径，OP与AB交于点D，连接CB．
（1）求证：∠PAB=∠ACB；
（2）连接CD，若tan∠APD=$\frac{1}{2}$，求证：∠CDB=45°；
（3）在（2）的条件下，点E为线段DP上一点，使∠ACD=∠ECD，PB=$\sqrt{5}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线性质得出OA⊥PA，根据圆周角定理得出∠OAP=90°，求出∠OAD+∠PAB=90°和∠ACB+∠OAD=90°即可；
（2）根据切线的性质求出PA=PB，∠APD=∠BPD，推出OP⊥AB，求出∠CAB=∠APD，推出tan∠CAB=$\frac{1}{2}$=$\frac{BC}{AB}$，根据垂径定理得出BD=DA即可；
（3）过C作CM⊥PO于M，求出四边形CBDM是正方形，根据正方形性质得出∠MCD=∠BCD=45°，求出∠MCO=∠BCD，推出∠CED=∠CAD，根据AAS推出△CAD≌△CED，求出AD=DE，设AD=x，PD=2x，在Rt△ADP中，由勾股定理求出x=1，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵PA切⊙O于A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∴∠OAD+∠PAB=90°，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB+∠OAD=90°，
∴∠PAB=∠ACB；

（2）证明：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA=PB，∠APD=∠BPD，
∴OP⊥AB，
∴∠PDA=90°，
∴∠APD+∠PAB=90°，
∵∠PAB+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠APD，
∵tan∠APD=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠CAB=$\frac{1}{2}$=$\frac{BC}{AB}$，
∵OP⊥AB，PA=PB，
∴BD=DA，
∴BC=BD，
tan∠APD=$\frac{AD}{PD}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠ABC=90°，
∴∠CDB=45°；

（3）解：过C作CM⊥PO于M，
∵∠CBD=∠BDM=∠CMD=90°，BD=BC，
∴四边形CBDM是正方形，
∴∠MCD=∠BCD=45°，
∵∠ACD=∠ECD，
∴∠MCO=∠BCD，
∵四边形CBDM是正方形，
∴BC∥DM，CM∥AB，
∴∠BCN=∠CED，∠MCO=∠CAD，
∴∠CED=∠CAD，
在△CAD和△CED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CED}\\{∠ACD=∠ECD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$
∴△CAD≌△CED（AAS），
∴AD=DE，
设AD=x，PD=2x，
在Rt△ADP中，由勾股定理得：x²+（2x）²=（$\sqrt{5}$）²，
解得：x=1，
即AD=1，PD=2，
∴DE=AD=1，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，数形结合思想的运用，难度偏大．