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如图,反比例函数数学公式的图象经过A、B两点,点A、B的横坐标分别为2、4,过A作AC⊥x轴,垂足为C,且△AOC的面积等于4.
(1)求k的值;
(2)求直线AB的函数值小于反比例函数的值的x的取值范围;
(3)求△AOB的面积;
(4)在x轴的正半轴上是否存在一点P,使得△POA为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)∵A的横坐标为2,
∴OC=2,
又∵Rt△AOC的面积等于4,
OC•AC=4,可得AC=4,
∴A(2,4),
将A的坐标代入y=中,得k=8,
则k的值为8;

(2)由函数图象可得:当0<x<2或x>4时,直线AB的函数值小于反比例函数的值;

(3)过点B作BD⊥x轴,交x轴于点D,如图所示:

由B的横坐标为4,将x=4代入反比例解析式得:y=2,
∴B(4,2),
∴OD=4,BD=2,
又∵OC=2,AC=4,
∴CD=OD-OC=4-2=2,
∵S△BOD=S△AOC==4,
∴S△AOB=S△AOC+S梯形ACDB-S△BOD=S梯形ACDB===6;

(4)在x轴的正半轴上存在点P,使得△POA为等腰三角形,

分三种情况考虑:
当AO=AP1时,△P1OA为等腰三角形,
∵A(2,4),
∴OC=2,
又∵AC⊥x轴,
∴C为OP1的中点,
∴OP1=4,
此时P1的坐标为(4,0);
当OA=OP2时,△P2OA为等腰三角形,
∵A(2,4),
∴OA=2
此时P2的坐标为(2,0);
当AP3=OP3时,△P3OA为等腰三角形,
此时P3为OA垂直平分线与x轴的交点,
取OA的中点为M,作MN⊥x轴,
∵O(0,0),A(2,4),
∴M(1,2),
∴MN=2,ON=1,
∵∠OMN+∠NMP3=90°,∠MON+∠OMN=90°,
∴∠NMP3=∠MON,又∠MNO=∠MNP3=90°,
∴△MON∽△P3MN,
∴MN2=ON•NP3,即4=1•NP3
可得NP3=4,则OP3=ON+NP3=1+4=5,
此时P3的坐标为(5,0).
综上,满足题意的坐标为P1(4,0);P2(2,0);P3(5,0).
分析:(1)由A的横坐标得出OC的长,再根据直角三角形AOC的面积等于两直角边OC与AC乘积的一半,由已知的面积及OC的长,求出AC的长,确定出A的坐标,将A的坐标代入反比例函数解析式中,即可求出k的值;
(2)由一次函数与反比例函数的交点A和B的横坐标,根据函数图象可得出直线AB的函数值小于反比例函数的值的x的取值范围;
(3)过B作BD垂直于x轴,交x轴于点D,将B的横坐标代入反比例解析式中,求出y的值,即为B的纵坐标,确定出B的坐标,进而确定出OD及BD的长,用OD-OC求出CD的长,根据反比例函数的性质得到三角形AOC的面积与三角形OBD的面积相等,都为,直角梯形ACDB的面积等于(BD+AC)•CD,然后由三角形AOB的面积=三角形AOC的面积+梯形ACDB的面积-三角形OBD的面积,将各自的面积代入即可求出三角形AOB的面积;
(4)在x轴的正半轴上存在一点P,使得△POA为等腰三角形,分三种情况考虑:当AO=AP1时,根据等腰三角形的三线合一得到C为OP1的中点,由OC的长求出OP1的长,确定出P1的坐标;当OA=OP2时,根据A的坐标求出OA的长,即为OP2的长,确定出P2的坐标;当AP3=OP3时,此时P3为OA垂直平分线与x轴的交点,取OA的中点为M,由O与A的坐标,利用线段中点坐标公式求出M的坐标,确定出MN及ON的长,过M作MN垂直于x轴,根据同角的余角相等可得出三角形AMN与三角形MNP3一对角相等,再由一对直角相等,根据两对对应角相等的两三角形相似可得出这两个三角形相似,由相似得比例,将各自的值代入求出NP3的长,由ON+NP3求出OP3的长,确定出P3的坐标,综上得到所有满足题意的P的坐标.
点评:此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:利用待定系数法求函数解析式,相似三角形的判定与性质,线段中点坐标公式,等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,利用了数形结合及分类讨论的思想,是一道较难的题,其中第二问注意运用图象法来求解,第三问满足题意的点P坐标有3个,注意不要漏解.
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