(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠ECG=45°,请你利用(1)的结论证明:.
(3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCG中,AG∥BC(BC>AG),∠B=90°,AB=BC=6,E是AB上一点,且∠ECG=45°,BE=2.求△ECG的面积.
(1)先根据正方形的性质可得BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,即可证得△CBE≌△CDF,从而得到结论;(2)延长AD至F,使DF=BE.连接CF.由(1)知△CBE≌△CDF,即可得到∠BCE=∠DCF.又∠GCE=45°,可得∠BCE+∠GCD=45°.即可得到∠ECG=∠GCF.又CE=CF,GC=GC,即可证得△ECG≌△FCG,即可证得结论;(3)15
解析试题分析:(1)先根据正方形的性质可得BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,即可证得△CBE≌△CDF,从而得到结论;
(2)延长AD至F,使DF=BE.连接CF.由(1)知△CBE≌△CDF,即可得到∠BCE=∠DCF.又∠GCE=45°,可得∠BCE+∠GCD=45°.即可得到∠ECG=∠GCF.又CE=CF,GC=GC,即可证得△ECG≌△FCG,即可证得结论;
(3)过C作CD⊥AG,交AG延长线于D.证得四边形ABCD 为正方形.由(2)中△ECG≌△FCG,即得GE=GF.GE=DF+GD=BE+GD,设DG=x,可得AE=4,AG=6—x,EG="2+" x.在Rt△AEG中,根据勾股定理即可列方程求得x的值,再根据三角形的面积公式即可求得结果.
(1)在正方形ABCD中,
∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,
∴△CBE≌△CDF.
∴CE=CF.
(2)如图2,延长AD至F,使DF=BE.连接CF.
由(1)知△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF.
又∠GCE=45°,
∴∠BCE+∠GCD=45°.
∴∠DCF+∠GCD=∠GCF=45°
即∠ECG=∠GCF.
又∵CE=CF,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG.
∴=.
∴.
(3)如图3,过C作CD⊥AG,交AG延长线于D.
在直角梯形ABCG中,
∵AG∥BC,∴∠A=∠B=90°,
又∠CDA=90°,AB=BC,
∴四边形ABCD 为正方形.
已知∠ECG=45°.
由(2)中△ECG≌△FCG,∴ GE=GF.
∴GE=DF+GD=BE+GD.
设DG=x,
∵BE=2,AB=6,
∴AE=4,AG=6—x,EG="2+" x.
在Rt△AEG中,
,即.
解得:x=3.
∴==15.
∴△CEG的面积为15.
考点:正方形的性质与判定,全等三角形的判定与性质,直角梯形的性质,勾股定理
点评:此题综合性较强,难度较大,注意掌握辅助线的作法是解此题的关键,注意数形结合思想与方程思想的应用.
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