已知:如图.AB为⊙O的直径.点C为AB延长线上一点.动点P从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度运动.同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动.当两点相遇时停止运动.过点P作AB的垂线.分别交⊙O于点M和点N.已知⊙O的半径为2.AC=10.设运动时间为ts．(1)求证:△AMQ≌△ANQ,(2)填空:①当t=$\frac{10}{3}$时.四边形AMQN为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

19．

已知：如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为2，AC=10，设运动时间为ts．
（1）求证：△AMQ≌△ANQ；
（2）填空：
①当t=$\frac{10}{3}$时，四边形AMQN为菱形；
②当t=5-$\sqrt{5}$时，NQ与⊙O相切．

分析（1）由垂径定理可证AN=AM，进而可证∠NAQ=∠MAQ，由SAS即可证明△AMQ≌△ANQ；
（2）①AP=t，CQ=t，则PQ=10-2t，由于NM⊥AB，根据垂径定理得PM=PN，根据菱形的判定方法，当PA=PQ时，四边形AMQN为菱形，即t=10-2t，然后解一元一次方程可求t的值；
②根据切线的判定定理，当∠ONQ=90°时，NQ与⊙O相切，如图，此时OP=t-2，OQ=AC-OA-QC=8-t，再证明Rt△ONP∽Rt△OQN，利用相似比可得关于t的方程，然后解一元二次方程可得到t的值．

解答解：
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，NM⊥AB于点P，
∴$\widehat{AN}=\widehat{AM}$，
∴AN=AM，
∴∠ANP=∠AMP，
∵∠APN=∠APM=90°，
∴∠NAQ=∠MAQ，
在△AMQ和△ANQ中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AN}\\{∠MAQ=∠NAQ}\\{AQ=AQ}\end{array}\right.$，
∴△AMQ≌△ANQ（SAS）；

（2）①∵动点P从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，
∴AP=t，CQ=t，则PQ=10-2t，
∵NM⊥AB，
∴PM=PN，
∴当PA=PQ时，四边形AMQN为菱形，即t=10-2t，解得t=$\frac{10}{3}$；
②当∠ONQ=90°时，NQ与⊙O相切，如图，

OP=t-2，OQ=AC-OA-QC=10-2-t=8-t，
∵∠NOP=∠QON，
∴Rt△ONP∽Rt△OQN，
∴$\frac{ON}{OQ}=\frac{OP}{ON}$，
即$\frac{2}{8-t}=\frac{t-2}{2}$，
整理得t²-10t+20=0，解得t₁=5-$\sqrt{5}$，t₂=5+$\sqrt{5}$，
∵P，Q两点相遇时停止运动，
∴2≤t≤5，
∴t₂=5+$\sqrt{5}$舍去，
即当t=5-$\sqrt{5}$时，NQ与⊙O相切，
故答案为：$\frac{10}{3}$；5-$\sqrt{5}$．

点评本题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：垂径定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、菱形的判定和性质以及切线的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等，特别是对学生计算能力的要气很高，熟练掌握解一元二次方程和圆的有关性质是解题的关键．

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