Question

如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A₁B₁C₁．

﹙1﹚将△ABC，△A₁B₁C₁如图②摆放，使点A₁与B重合，点B₁在AC边的延长线上，连接CC₁交BB₁于点E．求证：∠B₁C₁C=∠B₁BC．
﹙2﹚若将△ABC，△A₁B₁C₁如图③摆放，使点B₁与B重合，点A₁在AC边的延长线上，连接CC₁交A₁B于点F，试判断∠A₁C₁C与∠A₁BC是否相等，并说明理由．
﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A₁FC相似的三角形．

Answer 1

分析：（1）由题意，知△ABC≌△A₁B₁C₁，根据矩形的性质及全等三角形的性质，可证四边形ABC₁C是平行四边形，再根据平行四边形的性质及相互间的等量关系即可得出；
（2）由题意，知△ABC≌△A₁B₁C₁，根据矩形的性质及全等三角形的性质，及相互间的等量关系即可得出；
（3）根据相似三角形的判定即可得出．

解答：（1）证明：由题意，知△ABC≌△A₁B₁C₁，
∴AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，∠2=∠7，∠A=∠1．
∴∠3=∠A=∠1．（1分）
∴BC₁∥AC．
∴四边形ABC₁C是平行四边形．（2分）
∴AB∥CC₁．
∴∠4=∠7=∠2．（3分）
∵∠5=∠6，
∴∠B₁C₁C=∠B₁BC．（4分）

﹙2）解：∠A₁C₁C=∠A₁BC．（5分）
理由如下：由题意，知△ABC≌△A₁B₁C₁，
∴AB=A₁B₁，BC₁=BC，∠1=∠8，∠A=∠2．
∴∠3=∠A，∠4=∠7．（6分）
∵∠1+∠FBC=∠8+∠FBC，
∴∠C₁BC=∠A₁BA．（7分）
∵∠4=

1

2

（180°-∠C₁BC），∠A=

1

2

（180°-∠A₁BA），
∴∠4=∠A．（8分）
∴∠4=∠2
∵∠5=∠6，
∴∠A₁C₁C=∠A₁BC．（9分）

﹙3）解：△C₁FB，（10分）
△A₁C₁B，△ACB．（11分）﹙写对一个不得分﹚

点评：本题主要考查了矩形的性质和全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，难度较大．