Question

【题目】如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点同时停止运动．设运动时间为以．过点作于，连接交边于．以为边作平行四边形．

（1）当为何值时，为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（3）求的长；

（4）取线段的中点，连接，将沿直线翻折，得，连接，当为何值时，的值最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）时，是直角三角形；（2），存在，见解析；（3）3；（4）的最小值为．

【解析】

（1）当时， ，由此构建方程即可解决问题．

（2）如图1中，连接BF交于．证明，由此构建方程即可解决问题．

（3）证明即可解决问题．

（4）如图3中，连接．根据求解即可解决问题．

解：（1）∵是等边三角形，

∴，

∴当时，，

∴，

∴，

∴时，是直角三角形．

（2）存在．

理由：如图1中，连接交于．

∵平分，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得．

（3）如图2中，作交于．

∵是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴．

（4）如图3中，连接

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴的最小值为．