精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图,在平行四边形ABCD中,AD=4cm,∠A=60°,BD⊥AD.一动点P从A出发,以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动,过点P作直线PM,使PM⊥AD.
(1)当点P运动2秒时,设直线PM与AD相交于点E,求△APE的面积;
(2)当点P运动2秒时,另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动,且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动,在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN,使QN∥PM.设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10),直线PM精英家教网与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2
①求S关于t的函数关系式;
②(附加题)求S的最大值.
分析:(1)在三角形AEP中,AP=2,∠A=60°,利用三角函数可求出AE和PE,即可求出面积;
(2)①此题应分情况讨论,因为两个动点运动速度不同,所以有点P与点Q都在AB上运动、点P在BC上运动点Q仍在AB上运动、点P和点Q都在BC上运动三种情况,在每种情况下可利用三角函数分别求出我们所需要的值,进而求解.
②在①的基础上,首先①求出函数关系式之后,根据t的取值范围不同函数最大值也不同.
解答:解:(1)当点P运动2秒时,AP=2cm,由∠A=60°,知AE=1,PE=
3
.(2分)
∴S△APE=
3
2
;(4分)

(2)①当0≤t<6时,点P与点Q都在AB上运动,如图所示:
精英家教网
设PM与AD交于点G,QN与AD交于点F,
则AQ=t,AF=
t
2
,QF=
3
2
t,
AP=t+2,AG=1+
t
2
,PG=
3
+
3
2
t.
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=
3
2
t+
3
2
;(8分)
②当6≤t<8时,点P在BC上运动,点Q仍在AB上运动.如图所示:
精英家教网
设PM与DC交于点G,QN与AD交于点F,则AQ=t,AF=
t
2

DF=4-
t
2
,QF=
3
2
t,BP=t-6,CP=10-t,PG=(10-t)
3

而BD=4
3
,故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=-
5
3
8
t2+10
3
t-34
3
,(10分)
③当8≤t≤10时,点P和点Q都在BC上运动.如图所示:
精英家教网
设PM与DC交于点G,QN与DC交于点F,则CQ=20-2t,QF=(20-2t)
3

CP=10-t,PG=(10-t)
3

∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=
3
3
2
t2-30
3
t+150
3
.(14分)
故S关于t的函数关系式为
3
2
t+
3
2
,(0≤t<6)
-
5
3
8
t2+10
3
t-34
3
,(6≤ t<8)
3
3
2
t2-30
3
t+150
3
,(8≤t≤10)


②(附加题)当0≤t<6时,S的最大值为
7
3
2
,(1分)
当6≤t<8时,S的最大值为6
3
,(舍去),(2分)
当8≤t≤10时,S的最大值为6
3
,(3分)
所以当t=8时,S有最大值为6
3
.(4分)
(如正确作出函数图象并根据图象得出最大值,同样给4分)
点评:此题解答需数形结合,把函数知识和几何知识紧密联系在一起,难易程度适中.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

17、如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,EF、GH相交于点O,则图中共有
9
个平行四边形.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F,证明:四边形DFBE是平行四边形.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,BC=6厘米,DC=7厘米.点M是边AD上一点,且DM:AD=1:3.点E、F分别从A、C同时出发,以1厘米/秒的速度分别沿AB、CB向点B运动(当点F运动到点B时,点E随之停止运动),EM、CD精英家教网的延长线交于点P,FP交AD于点Q.设运动时间为x秒,线段PC的长为y厘米.
(1)求y与x之间函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x为何值时,PF⊥AD?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在平行四边形ABCD中,AB=2
2
AO=
3
OB=
5
,则下列结论中不正确的是(  )
A、AC⊥BD
B、四边形ABCD是菱形
C、△ABO≌△CBO
D、AC=BD

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•同安区一模)如图,在平行四边形ABCD中,已知∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,则AD的长为
4cm
4cm

查看答案和解析>>

同步练习册答案