Question

如图所示，等腰梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC与BD交于点O，AD=DC，AC=BD=AB．
（1）若∠ABD=a，求a的度数；
（2）求证：OB²=OD•BD．

Answer 1

分析：（1）根据DC∥AB，AD=DC，可以得到∠DAC=∠BAC，又等腰梯形ABCD中∠BAC=∠ABD，在等腰△ABD中，BD=AB利用三角形内角和定理列式求解即可；
（2）根据角的度数，AD=AO=OB，△AOD∽△BAD，根据相似三角形对应边成比例求解即可．

解答：（1）解：∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AD=DC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DAB=2∠CAB=2α，
在等腰梯形ABCD中，∠CAB=∠ABD=α，
又∵BD=AB，
∴∠DAB=∠ADB，
∴在△ABD中，
α+2×2α=180°，
解得α=36°；

（2）证明：∵α=36°，
∴∠DAC=∠CAB=36°，
∠ADB=∠DAB=36°×2=72°，
∴AD=AO=OB，△AOD∽△BAD，
∴

OD

AD

=

AD

BD

，
∴AD²=OD•BD，
即OB²=OD•BD．

点评：（1）考查等腰梯形的性质，利用等边对等角的性质推出角的关系再利用三角形内角和定理求出角是解题的关键；
（2）根据特殊的三角形判定三角形相似，进一步运用相似三角形对应边成比例求解是解本题的基本思路．