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如图,已知:四边形AEBD中,对角线AB和DE相交于点C,且AB垂直平分DE,AC=a,BC=b,CD=,其中a≥b>0.
(1)用尺规作图法作出以AB为直径的⊙O(保留作图痕迹)
(2)试判断点D与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)试估计代数式a+b和2的大小关系,并利用图形中线段的数量关系证明你的结论.

【答案】分析:(1)作图思路:先作AB的垂直平分线,以垂直平分线与AB的交点为圆心,以AB的一半为半径作圆,所得的圆为所求的圆;
(2)求D是否在圆上,连接OD,如果证明了OD=OA=OB那么D就在圆上了,那么只要证明∠ADB是个直角就可以了,可通过证明△DCA∽△BCD,根据题目给出的条件,不难得出CD2=AC•CB,那么证明△DCA∽△BCD就容易多了;
(3)圆内长的弦是直径,那么AB≥DE,AB=a+b,DE=2DC=2,因此可得出:a+b≥2
解答:解:(1)如图所示

(2)∵AC=a,BC=b,CD=
∴CD2=AC•CB,即
又∵∠DCA=∠DCB=90°,
∴△DCA∽△BCD;
∴∠DAB=∠CDB,∵∠DAB+∠ADC=90°,
∴∠ADC+∠CDB=90°
即∠ADB=90°,∴OA=OB=OD,∴点D在⊙O上;

(3)结论:a+b≥2
由(2)知,点D、E都在⊙O上,∵AB是⊙O的直径,AB⊥DE,
∴DE=2DC=2
∵AB≥DE,
∴a+b≥2
点评:本题主要考查了点与圆的关系,相似三角形的判定等知识点.要证明某点是否在圆上,只要连接这点和圆心再证明其长度等于半径即可.
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2
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=
a
BC
=
b
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a
b
表示
BF

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