Question

已知抛物线y=x²-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B。
（1）求m的值；
（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图，请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形。

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x²-2x+m-1与x轴只有一个交点，
∴△=（-2）²-4×1×（m-1）=0，
解得，m=2；
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x²-2x+1，易得顶点B（1，0），
当x=0时，y=1，得A（0，1），
由1=x²-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1），
过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=x_D-x_B=1，
∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC=，
同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，
于是∠ABO=45°，AB=，
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，
因此△ABC是等腰直角三角形；
 （3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x²-2x-3，
当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=-1或x=3，
∴E（-1，0），F（0，-3），
即OE=1，OF=3，
①若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P₁（x₁，y₁），作P₁M⊥x轴于M，
∵∠P₁EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，
∴∠P₁EM=∠EFO，
得Rt△EFO∽Rt△P₁EM，
则，
即EM=3P₁M，
∵EM=x₁+1，P₁M=y₁，
∴x₁+1=3y₁，（*）
由于P₁（x₁，y₁）在抛物线C′上，
则有3（x₁²-2x₁-3）=x₁+1，
整理得，3x₁²-7x₁-10=0，
解得，x₁=-1（舍）或 x₁=，
把x₁=代入（*）中可解得，，
∴P₁（），
②若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P₂（x₂，y₂），作P₂N⊥与y轴于N，
同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP₂N，
得，
即P₂N=3FN，
∵P₂N=x₂，FN=3+y₂，
∴x₂=3（3+y₂）（**）
由于P₂（x₂，y₂）在抛物线C′上，
则有x₂=3（3+x₂²-2x₂-3），
整理得3x₂²-7x₂=0，
解得x₂=0（舍）或，
把代入（**）中可解得，，
∴P₂（），
综上所述，满足条件的P点的坐标为：（）或（）。