Question

19．如图，正方形ABCD中，点E在AB上，且BE=$\frac{1}{4}$AB，点F是BC的中点，点G是DE的中点，延长DF，与AB的延长线交于点H．以下四个结论：
①FG=$\frac{1}{2}$EH；②△DFE是直角三角形；③FG=$\frac{1}{2}$DE；④DE=EB+BC．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 设正方形边长为4a，求出DE、EF、DF，利用勾股定理等逆定理可以判定②正确；根据三角形中位线定理可以判定①正确；根据直角三角形斜边中线定理可以判断③正确；通过计算可以判断④正确．

解答 解：设正方形边长为4a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4a，∠A=∠ABC=∠C=90°，
∵AE=3a，EB=a，CF=FB=2a，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（4a）^{2}+（3a）^{2}}$=5a，EF=$\sqrt{E{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，DF=$\sqrt{C{D}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
∵DF²+FE²=25a²，DE²=25a²，
∴DF²+EF²=ED²，
∴∠DFE=90°，故②正确，
∵DG=GE，DF=FH，
∴GF=$\frac{1}{2}$EH，故①正确，
在RT△DFE中，∵DG=GE，∴FG=$\frac{1}{2}$DE，故③正确，
∵DE=4a，EB+BC=a+4a=5a，
∴DE=EB+BC，故④正确．
故选D．

点评 本题考查正方形的性质、勾股定理逆定理、三角形中位线定理．直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．