Question

已知：函数y=ax²+x+1的图象与x轴只有一个公共点．
（1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次函数y=ax²+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax²+x+1上？若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当a=0时，y=x+1，图象与x轴只有一个公共点
当a≠0时，△=1-4a=0，a=，此时，图象与x轴只有一个公共点．
∴函数的解析式为：y=x+1或y=x²+x+1；

（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x轴于点C；
∵y=ax²+x+1是二次函数，由（1）知该函数关系式为：
y=x²+x+1，
∴顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点
坐标为A（0，1）
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B
∴PB⊥AB则∠PBC=∠BAO
∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴=，故PC=2BC，
设P点的坐标为（x，y），
∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，
∴∠PBO是钝角，
∴x＜-2
∴BC=-2-x，PC=-4-2x，
即y=-4-2x，P点的坐标为（x，-4-2x）
∵点P在二次函数y=x²+x+1的图象上，
∴-4-2x=x²+x+1
解之得：x₁=-2，x₂=-10
∵x＜-2，
∴x=-10，
∴P点的坐标为：（-10，16）

（3）点M不在抛物线y=ax²+x+1上
由（2）知：C为圆与x轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ，即QE是中位线．
∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE
∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x轴
∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=
CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，
故BE=，QE=
∴Q点的坐标为（-，）
可求得M点的坐标为（，）
∵++1=≠
∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax²+x+1上．
（其它解法，仿此得分）
分析：（1）此题应分两种情况：①a=0，此函数是一次函数，与x轴只有一个交点；
②a≠0，此函数是二次函数，可由根的判别式求出a的值，以此确定其解析式；
（2）设圆与x轴的另一个交点为C，连接PC，由圆周角定理知PC⊥BC；由于PB是圆的直径，且AB切圆于B，得PB⊥AB，由此可证得△PBC∽△BAO，根据两个相似三角形的对应直角边成比例，即可得到PC、BC的比例关系，可根据这个比例关系来设P点的坐标，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标；
（3）连接CM，设CM与PB的交点为Q，由于C、M关于直线PB对称，那么PB垂直平分CM，即CQ=QM；过M作MD⊥x轴于D，取CD的中点E，连接QE，则QE是Rt△CMD的中位线；在Rt△PCB中，CQ⊥OB，QE⊥BC，易证得∠BQE、∠QCE都和∠CPQ相等，因此它们的正切值都等于（在（2）题已经求得）；由此可得到CE=2QE=4BE，（2）中已经求出了CB的长，根据CE、BE的比例关系，即可求出BE、CE、QE的长，由此可得到Q点坐标，也就得到M点的坐标，然后将点M代入抛物线的解析式中进行判断即可．
点评：此题是二次函数的综合题，涉及到一次函数、二次函数解析式的确定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，三角形中位线定理，解直角三角形的应用等重要知识，需要特别注意的是（1）题所求的是函数y=ax²+x+1，而没有明确是一次函数还是二次函数，所以要把两种情况都考虑到，以免漏解．