Question

（2012•广西）已知抛物线y=ax²+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点．为求D点坐标，需先求出直线AB的解析式，然后令x=1求得y，即可求出D点坐标；
（3）本问关键是求出△ABP的面积表达式．这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3），
∴

9a+6+c=0 c=3

，解得a=-1，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．

（2）对称轴为x=-

b

2a

=1，
令y=-x²+2x+3=0，解得x₁=3，x₂=-1，∴C（-1，0）．
如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小．
设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：

3k+b=0 b=3

，解得k=-1，b=3，
∴直线AB解析式为y=-x+3．
当x=1时，y=2，∴D点坐标为（1，2）．

（3）结论：存在．
如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，
过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，AN=OA-ON=3-x．
S_△ABP=S_梯形PNOB+S_△PNA-S_△AOB
=

1

2

（OB+PN）•ON+

1

2

PN•AN-

1

2

OA•OB
=

1

2

（3+y）•x+

1

2

y•（3-x）-

1

2

×3×3
=

3

2

（x+y）-

9

2

，
∵P（x，y）在抛物线上，∴y=-x²+2x+3，代入上式得：
S_△ABP=

3

2

（x+y）-

9

2

=-

3

2

（x²-3x）=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

，
∴当x=

3

2

时，S_△ABP取得最大值．
当x=

3

2

时，y=-x²+2x+3=

15

4

，∴P（

3

2

，

15

4

）．
所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；P点的坐标为（

3

2

，

15

4

）．

点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、图形面积的表示方法等重要知识点，难度不是很大．注意第（3）问中图形面积的表示方法-并非直接用底乘以高，而是通过其他图形组合转化而来-这是压轴题中常见的技巧，需要认真掌握．