Question

如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=

4 3

3

，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、E、D．
（1）求点E的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在直线CD上找一点Q使得三角形O，D，Q为等腰三角形，并求出所有的Q点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据DC是AB垂直平分线，得出C点为OB的中点，再根据OB的值，即可求出点E的坐标；
（2）先过点C作CH⊥x轴，在Rt△ABO中，根据∠ABO的度数和OB的值求出AB的长，再在Rt△CBH中，求出OH的值，得出点D的坐标，再设直线CD的解析式，得出k，b的值，即可求出直线CD的解析式；
（3）分三种情况讨论，分别根据Q点的不同位置求出Q的坐标即可．

解答：解：（1））∵DC是AB垂直平分线，OA垂直AB，
∴C点为OB的中点，
∵∠A=90°，∠DCB=90°，
∴OA∥CD，
∴E为OB的中点，
∵OB=

4 3

3

，
∴OE=

1

2

OB=

2 3

3

，
∴E（

2 3

3

，0）；

（2）过点C作CH⊥x轴于点H，
在Rt△ABO中，∠ABO=30°，OB=

4 3

3

，
∴cos30°=

AB

4 3 3

=

3

2

，
即AB=

4 3

3

×

3

2

=2，
又∵CD垂直平分AB，
∴BC=1，在Rt△CBH中，CH=

1

2

BC=

1

2

，BH=

3

2

，
∴OH=

4 3

2

-

3

2

=

5 3

6

，
∴C（

5 3

6

，-

1

2

），
∵∠DGO=60°，
∴OE=

1

2

OB=

2 3

3

，
∴OD=

2 3

3

tan60°=2，
∴D（0，2），
设直线CD的解析式为：y=kx+b，则

- 1 2 = 5 3 6 k+b b=2

，
解得：

k=- 3 b=2

．
∴y=-

3

x+2；

（3）存在；
设Q（m，-

3

m+2），
有三种情况；
当OD=QD时，∵D（0，2），
则DQ²=m²+（2+

3

m-2）²=OD²，
即4m²=2²，解得；m=1或m=-1，
∴Q₁（1，-

3

+2），Q₁（-1，

3

+2），
当OQ=DQ时，则m²+（-

3

m+2）²=m²+（2+

3

m-2）²，
解得：m=

3

3

，
Q₃（

3

3

，1），
当OD=OQ时，则m²+（-

3

m+2）²=2²，
解得：m=0，或m=

3

，
∴Q₄（

3

，-1）．
∴使得三角形O，D，Q为等腰三角形的Q点Z坐标为Q₁（1，-

3

+2），Q₁（-1，

3

+2），Q₃（

3

3

，1），Q₄（

3

，-1）．

点评：此题考查了一次函数的综合应用；解题的关键是对（3）中Q点的不同位置分别进行求解，不要漏掉．