Question

【题目】点C为线段上一点，以为斜边作等腰，连接，在外侧，以为斜边作等腰，连接．

（1）如图1，当时：

①求证：；

②判断线段与的数量关系，并证明；

（2）如图2，当时，与的数量关系是否保持不变？

对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：

想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段垂线，交延长线于点G，连接；通过证明解决以上问题；

想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段垂线，垂足为点G，连接．通过证明解决以上问题；

想法3：尝试利用四点共圆，过点D作垂线段，连接，通过证明D、F、B、E四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．

请你参考上面的想法，证明（一种方法即可）．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②，证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）①如图（见解析），先根据直角三角形的性质得出，再根据等腰三角形的三线合一得出是斜边AC上的中线，然后根据直角三角形的性质，最后根据等量代换即可得证；

②先结合①的结论、等腰直角三角形的性质，，，再根据角的和差、直角三角形的性质得出，然后根据等边三角形的判定与性质得出，由此即可证出；

（2）想法1：先根据等腰三角形的性质、角的和差得出，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证；

想法2：先根据等腰直角三角形的性质、角的和差得出，，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得平分，然后根据等腰三角形的三线合一可得是的垂直平分线，最后根据垂直平分线的性质、等量代换即可得证；

想法3：先根据垂直的定义、等腰直角三角形的定义得出，，从而可得，由此可证出D、F、B、E四点共圆，再根据圆周角定理可得，然后同想法2的方法即可得证．

（1）①过点D作于F

是等腰三角形

是斜边AC上的中线（等腰三角形的三线合一）

；

②，证明如下：

等腰与等腰中

，，

是等边三角形

；

（2）想法1：如图，过点D作线段垂线，交延长线于点G，连接

是等腰直角三角形

，，

，即

是等腰直角三角形

，即

在和中，

是直角三角形

点E是BG的中点，即CE是斜边BG上的中线

；

想法2：如图，过点D作线段垂线，垂足为点G，连接

是等腰直角三角形

，，，

是等腰直角三角形

，即

是等腰直角三角形

，，，即

在和中，

平分

是等腰直角三角形

是的垂直平分线（等腰三角形的三线合一）

即；

想法3：如图，过点D作垂线段，连接

是等腰直角三角形

，，

D、F、B、E四点共圆

同想法2可证：是的垂直平分线

即．