Question

如图，二次函数的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；

（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧．⊙ M与y轴相切，切点为D．以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，求点M的坐标．

Answer 1

（1）；（2）E（1，4），4；（3）（，），（， ），（3，-4）．

【解析】

试题分析：（1）把A、B的坐标代入即可得到答案；

（2）设 E（a，b），先表示出四边形ABEC的面积S，再配方即可；

（3）分两种情况讨论， ，或．

试题解析：（1）∵ 二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（2，0），

∴ ，解得：，∴ 二次函数的解析式为；

（2）如图1．

∵二次函数的解析式为与y轴相交于点C，∴ C（0，2），设 E（a，b），且a >0，b >0，∵ A（-1，0），B（2，0），∴ OA=1，OB=2，OC=2，则S四边形ABEC= = ，∵ 点 E（a，b）是第一象限的抛物线上的一个动点，∴，∴，∴ 当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为（1，4），且四边形ABEC的最大面积为4；

（3）如图2．

设M（m，n），且m>0，∵ 点M在二次函数的图象上，∴ ，∵ ⊙M与y轴相切，切点为D，∴ ∠MDC =90°，∵ 以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，∴ ，或，

①当n >2时，，解得 m1=0（舍去），m2= ， 或m3=0（舍去），m4=-1（舍去）；

②同理可得，当n<2时，m1=0（舍去） ，m2=，或m3=0（舍去），m4=3；

综上，满足条件的点M的坐标为（，），（， ），（3，-4）．

考点：二次函数综合题．