16、请你来推算：
（1）一只蚂蚁绕一个矩形的水池边缘爬行，爬完一圈后，它的身体转过的角度之和是多少？

（2）如果它绕一个不规则的四边形的边缘爬行呢？（如图2），为什么？
（3）如果它绕五边形的水池边缘爬行呢？你是怎么推算出来的？如果绕n边形呢？

分析：蚂蚁身体转过的角度之和就是多边形的外角和，因而是360度．多边形的外角和与多边形的边数无关，因而水池是矩形，不规则的四边形、五边形，n边形都有相同的结论．

解答：解：（1）∵各角是矩形的外角，
∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°．
故蚂蚁的身体转过的角度之和是360°；
（2）∵各角是不规则的四边形的外角，
∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°．
故蚂蚁的身体转过的角度之和是360°；
（3）∵各角是五边形的外角，
∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°；
∵各角是n边形的外角，
∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°．
故蚂蚁的身体转过的角度之和都是360°．

点评：本题考查了多边形的外角和定理．多边形的外角和是360度，多边形的外角和与多边形的边数无关．

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德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n=

n(n+1)

．
这个公式可以用一种叫做“交叉消项求和法”的方法推导如下：
在“平方公式”（a+b）²=a²+2ab+b²中，
取b=1，得2a+1=（a+1）²-a²．…（*）
在（*）中分别取a=1，2，3，…，n，再左右分别相加，得2（1+2+3+…+n）+n×1=（2²-1²）+（3²-2²）+（4²-3²）+…+[n²-（n-1）²]+[（n+1）²-n²]=（n+1）²-1=n²+2n．
即1+2+3+…+n=

n(n+1)

．现在请你利用“立方公式”（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³来推导1²+2²+3²+…+n²的计算公式，要求写出推算过程．注：可以利用已推导的公式1+2+3+…+n=

n(n+1)

．

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