Question

9．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，5），B（-2，1），C（-1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A₁B₁C₁，已知点C₁的坐标为（4，0），画出△A₁B₁C₁，并写出顶点A₁，B₁的坐标；
（2）点P是x轴上一动点，当PC+PA₁最小时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用C点和C₁点坐标得到平移的规律，然后利用此规律写出A₁的坐标和B₁的坐标，然后描点即可得到△A₁B₁C₁为所作，；
（2）作点A₁关于x轴的对称点为A′（1，-2），连接CA′交x轴于P点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PC+PA₁最小，然后利用待定系数法法求出直线CA′的解析式，再计算出自变量为0对应的函数值即可得到P点坐标．

解答 解：（1）如图，△A₁B₁C₁为所作，A₁的坐标（2，2），B₁的坐标（3，-2）；
（2）作点A₁关于x轴的对称点为A′（1，-2），连接CA′交x轴于P点，如图，
设直线CA′的解析式为y=kx+b，
把C（-1，3），A′（2，-2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=3}\\{2k+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
所以直线CA′的解析式为y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{4}{3}$，
当y=0时，-$\frac{5}{2}$x+$\frac{4}{3}$=0，解得x=$\frac{4}{5}$，
此时P点坐标为（$\frac{4}{5}$，0）．

点评 本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．