【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=x﹣3经过B,C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是第四象限内抛物线上的动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点M,连接AC,过点M作MN⊥AC于点N,设点P的横坐标为t.
①求线段MN的长d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
②点Q是平面内一点,是否存在一点P,使以B,C,P,Q为顶点的四边形为矩形?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)①;②存在,t=1或.
【解析】
(1)首先求出点B、C的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)①根据S△ABC=S△AMC+S△AMB,由三角形面积公式可求y与m之间的函数关系式;
②把抛物线的解析式化成顶点式,求得顶点坐标,过点C作CE⊥PD于点E,分两种情况讨论:如图1,当BC为矩形的边时,根据矩形的性质得到P(t,﹣3﹣t),代入抛物线的解析式,求得t=1;如图2,当BC为矩形的对角线时,证得△CPE∽△PBD,得出CEBD=PEPD,由CE=t,BD=3﹣t,PD=﹣t2+2t+3=﹣(t+1)(t﹣3).PE=PD﹣DE=﹣t2+2t﹣3=﹣t2+2t=﹣t(t﹣2),列出t(3﹣t)=t(t﹣2)(t+1)(t﹣3),解得即可.
(1)由直线y=x﹣3过B,C两点,得B(3,0),C(0,﹣3),
将点B(3,0),C(0,﹣3)代入y=x2+bx+c中,
得
解得
故抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)①对于y=x2﹣2x﹣3,
当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0)
∴OA=1,
∵OB=OC=3,
∴∠OBC=∠BCO=45°,AC=,AB=4.
连接AM.
∵PD⊥x轴于点D,
∴∠DMB=∠GBM=45°.
又∵点P的横坐标为t,
∴DM=DB=3﹣t.
∵S△ABC=S△AMC+S△AMB,
∴
即
∴
②存在,t=1或,
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴抛物线的顶点坐标为(1,﹣4),
过点C作CE⊥PD于点E.
如图(1),当BC为矩形的边时,
由∠BCP=90°,∠BCE=45°,可得∠EPC=∠ECP=45°,
∴PE=CE=t,
∴P(t,﹣3﹣t).
将P(t,﹣3﹣t)代入y=x2﹣2x﹣3,
得﹣3﹣t=t2﹣2t﹣3,
解得t1=0(不合题意,舍去),t2=1.
如图(2),当BC为矩形的对角线时,
∵∠PCE+∠CPE=90°,∠CPE+∠BPD=90°,
∴∠PCE=∠BPD,
∴△CPE∽△PBD,
∴,即CEBD=PEPD.
∵点P的横坐标为t.
∴CE=t,BD=3﹣t,PD=﹣t2+2t+3=﹣(t+1)(t﹣3).PE=PD﹣DE=﹣t2+2t﹣3=﹣t2+2t=﹣t(t﹣2),
故t(3﹣t)=t(t﹣2)(t+1)(t﹣3),
整理,得t2﹣t﹣1=0,
解得(不合题意,舍去).
综上可知,t的值为1或.
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【题目】如图,已知二次函数y = ax2 2ax + c图像的顶点为P,与x轴交于A、B两点(其中点A在点B的左侧),与y轴交于点C,它的对称轴交直线BC交于点D,且CD︰BD=1︰2.
(1)求B点坐标;
(2)当△CDP的面积是1时,求二次函数的表达式;
(3)若直线BP交y轴于点E,求当△CPE是直角三角形时的a的值.
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【题目】在四边形ABCD中,BC=CD,连接AC、BD,∠ADB=90°.
(1)如图1,若AD=BD=BC,过点D作DF⊥AB于点F,交AC于点E:
①∠DAC= °;
②求证:EC=EA+ED;
(2)如图2,若AC=BD,求∠DAC的度数.
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【题目】如图,是垂直于水平面的建筑物,为测量的高度,小红从建筑物底端出发,沿水平方向行走了52米到达点,然后沿斜坡前进,到达坡顶点处,.在点处放置测角仪,测角仪支架高度为0.8米,在点处测得建筑物顶端点的仰角为(点,,,在同一平面内),斜坡的坡度(或坡比),求建筑物的高度.(精确到个位)(参考数据:)
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【题目】某游客计划测量这座塑像的高度,(如图1),由于游客无法直接到达塑像底部,因此该游客计划借助坡面高度来测量塑像的高度;如图2,在塑像旁山坡坡脚A处测得塑像头顶C的仰角为75°,当从A处沿坡面行走10米到达P处时,测得塑像头顶C的仰角刚好为45°,已知山坡的坡度i=1:3,且O,A,B在同一直线上,求塑像的高度.(侧倾器高度忽略不计,结果精确到0.1米,参考数据:cos75°≈0.3,tan75°≈3.7,,,)
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【题目】已知:如图1,抛物线是由抛物线向右平移1个单位,再向下平移4个单位得到的,与轴交于,两点(在的右侧),直线经过点,与轴交于点.
(1)分别求出,,的值;
(2)如图2,已知点是线段上任一点(不与,重合),过点作轴垂线,交抛物线于点.当在何处时,四边形面积最大,求出此时点坐标及四边形面积的最大值.
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【题目】问题探究,
(1)如图①,在矩形ABCD中,AB=2AD,P为CD边上的中点,试比较∠APB和∠ADB的大小关系,并说明理由;
(2)如图②,在正方形ABCD中,P为CD上任意一点,试问当P点位于何处时∠APB最大?并说明理由;
问题解决
(3)某儿童游乐场的平面图如图③所示,场所工作人员想在OD边上点P处安装监控装置,用来监控OC边上的AB段,为了让监控效果最佳,必须要求∠APB最大,已知:∠DOC=60°,OA=400米,AB=200米,问在OD边上是否存在一点P,使得∠APB最大,若存在,请求出此时OP的长和∠APB的度数;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,点D在BA的延长线上,CD与⊙O交于另一点E,DE=OB=2,∠D=20°,则弧BC的长度为( )
A. π B. π C. π D. π
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【题目】如图,二次函数的图象与x轴的一个交点为B(4,0),另一个交点为A,且与y轴相交于C点.
(1)求m的值及C点坐标;
(2)在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M,使得它与B,C两点构成的三角形面积最大,若存在,求出此时M点坐标;若不存在,请简要说明理由;
(3)P为抛物线上一点,它关于直线BC的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标;
②点P的横坐标为t(0<t<4),当t为何值时,四边形PBQC的面积最大,请说明理由.
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