Question

14．如图，直线l∥x轴，交y轴于点A（0，2），交直线y=kx于点B，P是线段OB延长线上一点，连接AP作PC⊥AP交x轴于点C，连接AC交OB于D，E是直线CP与y轴的交点．如果∠ACE=∠AEC，$\frac{PD}{OD}$=2，求$\frac{PA}{PC}$的值．

Answer 1

分析 可分点P在线段OB的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论．易证PA：PC=PN：PM，设OA=x，只需用含x的代数式表示出PN、PM的长，即可求出$\frac{PA}{PC}$的值．

解答 解：分两种情况：
①若点P在线段OB的延长线上，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，
PM与直线AC的交点为F，如图1所示：
∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，
∴△ANP∽△CMP，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{PN}{PM}$，
∵∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE，
∵AP⊥PC，
∴EP=CP，
∵PM∥y轴，
∴AF=CF，OM=CM，
∴FM=$\frac{1}{2}$OA，
设OA=x，
∵PF∥OA，
∴△PDF∽△ODA，
∴$\frac{PF}{OA}$=$\frac{PD}{OD}$，
∵PD=2OD，
∴PF=2OA=2x，FM=$\frac{1}{2}$x，
∴PM=$\frac{5}{2}$x，
∵∠APC=90°，AF=CF，
∴AC=2PF=4x，
∵∠AOC=90°，
∴OC=$\sqrt{15}$x，
∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴PN=OM=$\frac{\sqrt{15}}{2}$x，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{PN}{PM}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}x}{\frac{5}{2}x}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$；
②若点P在线段OB的反向延长线上，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，
PM与直线AC的交点为F，如图2所示：
同理可得：PM=$\frac{3}{2}$x，CA=2PF=4x，OC=$\sqrt{15}$x，
∴PN=OM=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{\sqrt{15}}{2}$x，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{PN}{PM}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}x}{\frac{3}{2}x}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$；
综上所述：$\frac{PA}{PC}$的值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$或$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．