Question

【题目】综合题
（1）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE+CE．

（2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°

∴∠ABD=∠CAE，

∵AB=AC，

在△ABD和△CAE中，

∵ ，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

∵AE=AD+DE，

∴BD=DE+CE；

（2）解：BD=DE﹣CE；

∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE，

∴∠ABD=∠CAE，

∵AB=AC，

在△ABD和△CAE中，

∵ ，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

∴AD+AE=BD+CE，

∵DE=BD+CE，

∴BD=DE﹣CE．

【解析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABD=∠CAE，根据三角形全等的条件得到△ABD≌△CAE，得到全等三角形的对应边、对应角相等，证明得到BD=DE+CE；（2）根据旋转的性质，得到∠ABD=∠CAE，得到△ABD≌△CAE，到全等三角形的对应边、对应角相等，证明得到BD=DE-CE.
【考点精析】本题主要考查了全等三角形的性质的相关知识点，需要掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等才能正确解答此题．