Question

（2012•朝阳二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E．
（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
（2）如果BC=9，AC=12，求⊙O的半径r．

Answer 1

分析：（1）连接OD，由OB=OD和角平分线性质得出∠ODB=∠DBC．推出OD∥BC，得出∠ODC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）由平行线得出△ADO∽△ACB，推出比例式，代入求出即可．

解答：（1）证明：∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，
∴BE是⊙O的直径，点O是BE的中点，
连接OD．
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB．
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC．
∴∠ODB=∠DBC．
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ADO=∠C=90°．
∵OD是半径，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=15，
∵OD∥BC，
∴△ADO∽△ACB，
∴

AO

AB

=

OD

BC

，
∴

15-r

15

=

r

9

，
解得：r=

45

8

．

点评：本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，解（1）的关键是求出∠ODC=90°，解（2）的关键是得出关于r的方程．